Wie wende ich die Partialbruchzerlegung bei der Funktion s2/(s-1) an?

Question

Aufgabe:

Wie wende ich die Partialbruchzerlegung bei der Funktion s²/(s-1) an?

Problem/Ansatz:

Ich würde den Bruch gerne umformen, allerdings komme ich nicht weiter.

Im Internet habe ich folgende Lösung durch die Nutzung eines Rechners erhalten s+1+1/(s-1). Ich weiß aber nicht, wie man darauf kommt.

Könnte mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

Comments

Wenn bei einer rationalen Funktion der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist, muss vor der PBZ eine Polynomdivision durchgeführt werden.

Answer 1

Da man weiß, dass (zwar nicht s^2 selbst, aber dafür) s^2-1 durch s-1 teilbar ist (3. bin. Formel), schreibt man s^2 als s^2-1+1  und erhält so

\( \frac{s^2}{s-1} = \frac{s^2-1+1}{s-1} = \frac{s^2-1}{s-1} +\frac{1}{s-1} =s+1+\frac{1}{s-1} \)

Answer 2

s^2/(s-1)

Der Grad im Zähler ist höher als im Nenner.

Da machst du einfach Polynomdivision mit Rest

s^2 : ( s-1) = s  +  1   +  1 / (s-1)

s^2 - s
----------
        s
       s-1
       -----

            1

Answer 3

Weg mit Substitution:
\( \int \frac{s^{2}}{s-1} \cdot d s \)
\( u=s-1 \rightarrow s=u+1 \rightarrow d s=1 \cdot d u \)
\( \int \frac{s^{2}}{s-1} \cdot d s=\int \frac{(u+1)^{2}}{u} \cdot d u=\int \frac{u^{2}+2 u+1}{u} \cdot d u=\int\left(u+2+\frac{1}{u}\right) \cdot d u=\frac{u^{2}}{2}+2 u+\ln (|u|) \)
\( \int \frac{s^{2}}{s-1} \cdot d s=\frac{(s-1)^{2}}{2}+2 s-2+\ln (|s-1|)+C \)
Kann noch vereinfacht werden.