Zunächst muss für \( { }^{\wedge}: x \mapsto \hat{x} \) von \( V \) nach \( \left(V^{*}\right)^{*} \)
ja geprüft werden, dass zu jedem \( x \in V \) das Bild \( \hat{x} \) ein Element
von \( \left(V^{*}\right)^{*} \) ist. Dem ist so, weil zu jedem \( x \in V \) das \( \hat{x} \)
eine Linearform von V* nach K ist. Und zwar ist das diejenige, die bei jeder Linearform φ
von V nach K das x einsetzt.
Dann bleibt zu zeigen, dass \( { }^{\wedge}: x \mapsto \hat{x} \) selbst linear ist.
Sind also \( x \in V \) und \( y \in V \) dann ist zu prüfen: \( (x+y \hat{)} = \hat{x} + \hat{y} \).
Da geht es um die Gleichheit von Abbildungen. Die sind gleich, wenn sie für jedes
Element des Definitionsbereiches (hier V* ) die gleichen Ergebnisse liefern.
Sei also φ∈V*. Dann ist \( (x+y \hat{)}(φ) = φ(x+y)\) und
\( (\hat{x} + \hat{y})(φ) \) nach Def. der Summe zweier Abbildungen
\( = \hat{x}(φ) + \hat{y}(φ) = φ(x) + φ(x) \) und weil φ linear ist, stimmt es also.
Ähnlich auch \( (a \cdot x\hat{)} =a \cdot \hat{x} \) für alle a∈K.
Also ist \( { }^{\wedge}: x \mapsto \hat{x} \) von \( V \) nach \( \left(V^{*}\right)^{*} \)
ein Homomorphismus und für die Isomorphie ist wegen der gleichen
Dimension von Def. und Zielbereich nur noch zu prüfen,
dass der Kern nur die 0 enthält.
Sei also x∈V mit \( \hat{x} = 0 \) wobei die 0 die 0-Abbildung von (V*)*
bezeichnet, also muss das x beim Einsetzen in jede Linearform von V*
das Ergebnis 0 liefern, somit muss x der 0-Vektor sein.
Also alles klar.
