Bestimmen Sie die Menge D, in denen g differenzierbar ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( g(x):=\left\{\begin{array}{ll} 2 \exp (-x)-1, & x \leq 0 \\ x^{2}+1, & 0<x<2, \\ x^{3}-3, & x \geq 2 \end{array}\right. \)
(i) Bestimmen Sie die Menge \( D \) der \( x \in \mathbb{R} \), in denen \( g \) differenzierbar ist und berechnen sie auf \( D \) die Ableitung \( g^{\prime}: D \rightarrow \mathbb{R} \).
(ii) Ist es möglich \( g^{\prime} \) auf \( \mathbb{R} \) stetig fortzusetzen? Falls ja, geben Sie eine stetige Fortsetzung an.

Answer 1

Aloha :)

zu i) Polynomfunktionen sind differenzierbar. Die Exponentialfunktion ist differenzierbar. Summe und Produkte differenzierbarer Funktionen sind differenzierbar. Daher müssen wir die Differenzierbarkeit von \(g(x)\) nur an den beiden Übergangsstellen \(x=0\) und \(x=2\) genauer untersuchen.

Dazu untersuchen wir jeweils den links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten:$$\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{(2e^{-x}-1)-1}{x}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{2(e^{-x}-1)}{x}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{-2e^{-x}}{1}=-2$$$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{(x^2+1)-1}{x}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\searrow0} x=0$$Da linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert unterschiedlich sind, kann man nicht den einen Grenzwert festlegen, also ist \(g(x)\) bei \(x=0\) nicht differenzierbar.

$$\lim\limits_{x\nearrow2}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=\lim\limits_{x\nearrow2}\frac{(x^2+1)-5}{x-2}=\lim\limits_{x\nearrow2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\nearrow2}(x+2)=4$$$$\lim\limits_{x\searrow2}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2}\frac{(x^3-3)-5}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2}\frac{x^3-8}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2}(x^2+2x+4)=12$$Auch hier sind linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert unterschiedlich. Daher ist \(g(x)\) bei \(x=2\) ebenfalls nicht differenzierbar.

zu ii) Alle übrigen Ableitungen können wir angeben:$$g'(x)=\left\{\begin{array}{cl}-2e^{-x} & \text{für }x<0\\2x & \text{für }0<x<2\\3x^2 & \text{für }x>2\end{array}\right.$$

Die Ableitung ist stetig fortsetzbar, falls an den krtischen Stellen \(x=0\) und \(x=2\) die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungen gleich sind:$$\lim\limits_{x\nearrow0}g'(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}(-2e^{-x})=-2\quad;\quad \lim\limits_{x\searrow0}g'(x)=\lim\limits_{x\searrow0}(2x)=0$$$$\lim\limits_{x\nearrow2}g'(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}(2x)=4\quad;\quad \lim\limits_{x\searrow2}g'(x)=\lim\limits_{x\searrow2}(3x^2)=12$$

Eine stetige Fortsetzung von \(g'(x)\) an den kritischen Stellen ist nicht möglich.

Answer 2

Jede der drei Teilfunktionen ist für sich genommen differenzierbar.

Betrachte ihre Ableitungen an den Stellen 0 und 2.

Aber vielleicht musst du die Ableitungen auch gar nicht betrachten, wenn an diesen Stellen nicht mal Stetigkeit vorliegen sollte.