Kurvenintegral 2. Art, Integral lösen

Question

folgende Aufgabe (Kurvenintegral 2. Art(?))

\( v(\gamma(t))=\left(\begin{array}{l}4 \cos (3 t) \sin (3 t)-8 t \sin (3 t)+t^{2} \\ 2 \cos² (3 t)-2 \sin (3 t)-8 t \cos (3 t) \\ \frac{1}{2} t \cdot \cos (3 t)-2 \cos (3 t) \sin (3 t)\end{array}\right) \quad \dot{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}-\sin (3 t) \cdot 3 \\ \cos (3 t) \cdot 3 \\ 4\end{array}\right) \)



\( \int \limits_{}^{}<v,dx> \)
\( \left.=\int \limits_{0}^{\pi}<\left(\begin{array}{l}4 \cos (3 t) \sin (3 t)-8 t \sin (3 t)+t^{2} \\ 2 \cos² (3 t)-2 \sin (3 t)-8 t \cos (3 t) \\ \frac{1}{2} t \cdot \cos (3 t)-2 \cos (3 t) \sin (3 t)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-\sin (3 t) \cdot 3 \\ \cos (3 t) \cdot 3 \\ 4\end{array}\right)\right\rangle d t \)

Das Ergebnis ist -pi²

Wie komme ich darauf, bzw. gibt es einen einfacheren Weg, diese Aufgabe zu lösen?

Ich habe auch das Potential, könnte das weiterhelfen?
Phi = 2x²y-y²+1/16xz²-2xyz

Comments

Wie sieht denn \(v\) aus, bevor due \(\gamma(t)\) eingesetzt hast?

Wie sieht \(\gamma(t)\) aus, bevor du es abgelitten hast?

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\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c}\cos (3 t) \\ \sin (3 t) \\ 4 t\end{array}\right) \quad t \in[0, \pi] \)

\( \dot{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}-\sin (3 t) \cdot 3 \\ \cos (3 t) \cdot 3 \\ 4\end{array}\right) \)

\( \vec{v}=\left(\begin{array}{c}2 a x y-a y z+\frac{1}{16} z^{2} \\ a\left(x^{2}-y-x z\right) \\ b x z-2 x y\end{array}\right) \)

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mit a=2 und b=1/8

Answer 1

Aloha :)

Du kannst das das Vektorfeld \(\vec v\) als Gradient einer Funktion \(\phi\) schreiben:$$\vec v=\operatorname{grad}\phi(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial\phi}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial\phi}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial\phi}{\partial z}\end{pmatrix}\quad;\quad\phi(x;y;z)\coloneqq2x^2y-2xyz+\frac{xz^2}{16}-y^2$$

Das Kurvenintegral hängt daher nicht vom gewählten Weg, sondern nur vom Start- und Endpunkt ab:$$\gamma(0)=(1;0;0)\quad;\quad\gamma(\pi)=(-1;0;4\pi)$$

Damit lautet die Rechnung:$$E=\int\limits_{(1;0;0)}^{(-1;0;4\pi)}\vec v\,d\vec r=\int\limits_{(1;0;0)}^{(-1;0;4\pi)}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}=\int\limits_{(1;0;0)}^{(-1;0;4\pi)}\left(v_1\,dx+v_2\,dy+v_3\,dz\right)$$$$\phantom{E}=\int\limits_{(1;0;0)}^{(-1;0;4\pi)}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\phi}{\partial y}\,dy+\frac{\partial\phi}{\partial z}\,dz\right)=\int\limits_{(1;0;0)}^{(-1;0;4\pi)}d\phi$$$$\phantom E=\phi(-1;0;4\pi)-\phi(1;0;0)=-\pi^2-0=-\pi^2$$

Comments

Top, vielen Dank dir!
Habe alles verstanden, super verständlich und ausführlich erklärt!