Kurvenintegral 2. Art mit Winkelfunktionen

Question

Aufgabe: Folgendes Kurvenintegral 2. Art ist zu lösen:

\( v: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad w(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}\frac{2 x y}{z}-x^{2} \\ \frac{x^{2}}{z} \\ -\frac{x^{2} y}{x^{2}}\end{array}\right) \)
\( \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad \gamma(t)=\left(\begin{array}{l}1+\frac{t}{2 \pi}+\frac{t^{2}}{4 \pi^{2}} \\ \cos (t)+\frac{3 t}{2 \pi} \cos ^{12}(t) \\ 1+\frac{8}{\pi} \operatorname{arctan}\left(\frac{t}{2 \pi}\right)\end{array}\right) \quad \)

Ansatz:

\(\gamma^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{l}\frac{1}{2 \pi}+\frac{2 t}{4 \pi^{2}} \\ -\sin (t)+\frac{3}{2} \pi \cos ^{12}(t)+18 t \cos ^{11}(t) \\ \frac{16 \pi^{2}}{t^{2}+4 \pi}\end{array}\right) \)

\( \int \limits_{0}^{2 \pi} v(x,y,z) d s=\int \limits_{0}^{2 \pi}<v(\gamma(t))_{i} \gamma^{\prime}(t)> \)

In der Erwartung, dass sich hier Sachen herauskürzen lassen werden, habe angefangen nach Schema F zu lösen. Leider wird alles nur komplexer und unübersichtlicher...

Hier muss es doch einen anderen Weg geben um das Kurvenintegral zu berechnen? Irgendeine Eigenschaft, welche sich mir nicht erschließt.

Danke für eure Tipps

Comments

Mein Tipp: Potential

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

1) Korrektur der Aufgabenstellung

Ich bin mir sehr sicher, dass die letzte Koordinate des Vektorfeldes \(\vec v\) falsch ist:$$\text{Streiche: }\quad v_z=-\frac{x^2y}{x^2}\quad\text{ und setze: }\quad v_z=-\frac{x^2y}{z^2}$$Im ersten Fall, so wie sie angegeben ist, könnte man einfach \(x^2\) kürzen und müsste das Integral tatsächlich zu Fuß ausrechnen. Im Folgenden gehe ich davon aus, dass im Nenner der \(v_z\)-Koordinate ein \(z^2\) steht.

2) Bestimmung des Gradientenfeldes

Der Weg \(\gamma\) sieht sehr pathologisch aus, den wollen wir nicht wirklich durchrechnen. Daher schauen wir, ob wir das Vektorfeld \(\vec v\) durch den Gradienten einer Funktion \(f(x;y;z)\) ausdrücken können. Bei der \(y\)-Koordinate von \(\vec v\) fällt auf, dass sie gar nicht von \(y\) abhängt. Die partielle Ableitung der gesuchte Funktion \(f(x;y;z)\) nach \(y\) ist also \(\frac{x^2}{z}\):$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2}{z}\implies f(x;y;z)=\frac{x^2y}{z}+c(x;z)$$Darin ist \(c(x;z)\) eine Integrations-"Konstante", die nur von \(x\) und \(z\) abhängt.

Als nächstes fällt auf, dass die partielle Ableitung unserer gerade gefundenen Funktion \(f(x;y;z)\) nach \(x\) schon fast der \(x\)-Komponente von \(\vec v\) entspricht:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy}{z}+\frac{\partial c}{\partial x}\stackrel!=\frac{2xy}{z}-x^2\implies\frac{\partial c}{\partial x}=-x^2\implies c(x;z)=-\frac{x^3}{3}+c(z)$$Es bleibt eine Integrations-"Konstante" \(c(z)\), die nur noch von \(z\) abhängt:$$f(x;y;z)=\frac{x^2y}{z}-\frac{x^3}{3}+c(z)$$

Wenn wir das bisher gefundene \(f(x;y;z)\) partiell nach \(z\) ableiten, erhalten wir bereits die korrigierte \(v_z\)-Koordinate, sodass wir \(c(z)=0\) setzen können.

Damit ist das Vektorfeld \(\vec v\) ein Gradientenfeld:$$\vec w=\operatorname{grad}f(x;y;z)\quad;\quad f(x;y;z)=\frac{x^2y}{z}-\frac{x^3}{3}$$

3) Berechnung des Integrals

Oft verwendet man \(\frac{\partial f}{\partial\vec r}\) als symbolische Schreibweise für \(\operatorname{grad}f\), denn damit wird die folgende Rechnung sehr intuitiv:

$$I=\!\!\!\int\limits_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)}\vec v\,d\vec r=\!\!\!\int\limits_{(1|1|1)}^{(3|4|3)}\frac{\partial f}{\partial\vec r}\,d\vec r=\!\!\!\int\limits_{(1|1|1)}^{(3|4|3)}df=\left[\frac{x^2y}{z}-\frac{x^3}{3}\right]_{(1|1|1)}^{(3|4|3)}=3-\frac23=\frac73$$

Comments

Hallo,

danke für die Antwort. Deiner Rechnung kann man super folgen.

Da habe ich wohl die Hauptsätze der Integralrechnung nicht mehr präsent gehabt. Nachdem ich jetzt so viel Zeit damit verbracht habe zu versuchen das Integral stupide durchzurechnen werde ich die bestimmt bis an den Rest meiner Tage kennen :,).

Das ist wirklich eine super gut strukturierte Antwort von dir, vielen Dank Tschakabumba.