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Willkommen in der Mathelounge... \o/
1) Korrektur der Aufgabenstellung
Ich bin mir sehr sicher, dass die letzte Koordinate des Vektorfeldes \(\vec v\) falsch ist:$$\text{Streiche: }\quad v_z=-\frac{x^2y}{x^2}\quad\text{ und setze: }\quad v_z=-\frac{x^2y}{z^2}$$Im ersten Fall, so wie sie angegeben ist, könnte man einfach \(x^2\) kürzen und müsste das Integral tatsächlich zu Fuß ausrechnen. Im Folgenden gehe ich davon aus, dass im Nenner der \(v_z\)-Koordinate ein \(z^2\) steht.
2) Bestimmung des Gradientenfeldes
Der Weg \(\gamma\) sieht sehr pathologisch aus, den wollen wir nicht wirklich durchrechnen. Daher schauen wir, ob wir das Vektorfeld \(\vec v\) durch den Gradienten einer Funktion \(f(x;y;z)\) ausdrücken können. Bei der \(y\)-Koordinate von \(\vec v\) fällt auf, dass sie gar nicht von \(y\) abhängt. Die partielle Ableitung der gesuchte Funktion \(f(x;y;z)\) nach \(y\) ist also \(\frac{x^2}{z}\):$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2}{z}\implies f(x;y;z)=\frac{x^2y}{z}+c(x;z)$$Darin ist \(c(x;z)\) eine Integrations-"Konstante", die nur von \(x\) und \(z\) abhängt.
Als nächstes fällt auf, dass die partielle Ableitung unserer gerade gefundenen Funktion \(f(x;y;z)\) nach \(x\) schon fast der \(x\)-Komponente von \(\vec v\) entspricht:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy}{z}+\frac{\partial c}{\partial x}\stackrel!=\frac{2xy}{z}-x^2\implies\frac{\partial c}{\partial x}=-x^2\implies c(x;z)=-\frac{x^3}{3}+c(z)$$Es bleibt eine Integrations-"Konstante" \(c(z)\), die nur noch von \(z\) abhängt:$$f(x;y;z)=\frac{x^2y}{z}-\frac{x^3}{3}+c(z)$$
Wenn wir das bisher gefundene \(f(x;y;z)\) partiell nach \(z\) ableiten, erhalten wir bereits die korrigierte \(v_z\)-Koordinate, sodass wir \(c(z)=0\) setzen können.
Damit ist das Vektorfeld \(\vec v\) ein Gradientenfeld:$$\vec w=\operatorname{grad}f(x;y;z)\quad;\quad f(x;y;z)=\frac{x^2y}{z}-\frac{x^3}{3}$$
3) Berechnung des Integrals
Oft verwendet man \(\frac{\partial f}{\partial\vec r}\) als symbolische Schreibweise für \(\operatorname{grad}f\), denn damit wird die folgende Rechnung sehr intuitiv:
$$I=\!\!\!\int\limits_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)}\vec v\,d\vec r=\!\!\!\int\limits_{(1|1|1)}^{(3|4|3)}\frac{\partial f}{\partial\vec r}\,d\vec r=\!\!\!\int\limits_{(1|1|1)}^{(3|4|3)}df=\left[\frac{x^2y}{z}-\frac{x^3}{3}\right]_{(1|1|1)}^{(3|4|3)}=3-\frac23=\frac73$$
