Alle exrema bestimmen, zwei Variablen, hohe Exponenten

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Funktion f ein lokales Extremum annimt und entscheiden Sie, ob es sich um ein lokales Minimum oder Maximum handelt.

f(x,y) = 3x⁸ + 3y⁸ + 8x³y³

Problem/Ansatz:

Gradf = \( \begin{pmatrix} 24x^7 + 24x^2 * y^3 \\24y^7 + 24y^2 * x^3\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)

Ab hier komme ich nicht weiter. Ich kriege nicht nach einer Variable aufgelöst. Gibt es hier einen Trick?

Answer 1

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob ich alles aus dem Dialog verarbeitet habe. Ich versuchs mal mit einer eigenen Lösung:

Wir haben die Gleichungen

$$(1) \quad x^7+x^2y^3=0 \qquad (2) \quad y^7+y^2x^3=0$$

Wenn x=0 ist, ist (1) erfüllt, dann folgt aus (2) y=0. Wenn y=0 ist, dann ist (2) erfüllt und aus (1) folgt x=0. (0,0) ist also die einzige Lösung, bei der eine Komponente 0 ist. Wir such also ab jetzt solche, wo beide Komponenten ungleich 0 sind:

$$(1) \quad x^7+x^2y^3=0 \Rightarrow x^8+x^3y^3=0 \qquad (2) \quad y^7+y^2x^3=0\Rightarrow y^8+y^3x^3=0$$

Durch Subtraktion folgt

$$x^8-y^8=0$$

Wegen der Eigenschaften der Funktion \(s \mapsto s^8\) folgt \(x=y\) oder \(x=-y\). Setzt man \(x=y\) in (1) ein:

$$0=x^7+x^5=x^5(x^2+1)$$

Das ist unerfüllbar. Für \(x=-y\) erhalten wir aus (1)

$$0=x^7-x^5=x^5(x^2-1)$$

Mit den Lösungen \(x=1\), \(x=-1\). Insgesamt also \((0,0), (1,-1),(-1,1)\). Bestätigung durch Probe.

Gruß Mathhilf

Comments

Danke! Ich kannte eben den Trick noch nicht, dass man die beiden Gleichungen, die eine mit x multiplizieren, die andere mit y mutiplizieren, und dann anschließend noch voneinander subtrahieren darf! Ich dachte, diese Subtraktionsmethode darf man nur bei Extrema mit Nebenbedingung machen, um das Lambda zu eliminieren, und ansonsten müsse man bei dieser Aufgabe hier irgendwie durch Ausklammern und Einsetzen auf die Lösung kommen!

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Ja, das ist eine clevere Vorgehensweise. Aber mit Einsetzen wäre es auch gegangen.

Dein Problem war u.a., dass du aus y^n=y^m nur auf y=0 geschlossen hast.

Dabei hätte sich daraus u.a. auch die Möglichkeit y=1 ergeben.

Answer 2

Klammere oben 24x² aus. Klammere unten 24y² aus.

Oben bekommst du die Möglichkeiten x=0 und x^5=-y^3.

Comments

Ja, genau. Darauf kam ich auch. Aber was soll ich mit x^5 = - y^3 anstellen? Wo soll ich das reinpacken?

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Damit kannst du x durch y oder y durch x ausdrücken (und damit in die zweite Gleichung gehen).

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Ich müsste ja aber x^5 = -y^3 erstmal komisch umformen,damit ich damit in die zweite Gleichung gehen kann. Wie stelle ich das an?

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Was ist an x=\( -\sqrt[5]{y^3} \) komisch?

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Eingesetzt wäre dies:

24y⁷ + 24y² * ((-\( \sqrt[5]{y^3} \))^3 = 0

<=> 24y⁷ + 24y² * (-\( \sqrt[2]{y^3} \) = 0 <=> 24y⁷ + 24y² * -y = 0 <=> y⁷-y³ = 0 => y = 0

ist das so korrekt?

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Aus mehreren Gründen: Nein.

Da dich dieser Weg überfordert: Versuche, mit dem Kommentar von lul weiterzumachen.

Answer 3

Nach abakus' Vorgehen ist der Gradient genau dann 0,

wenn \((x=0 \; \vee \; y^3=-x^5) \; \wedge \; (y=0 \; \vee \; x^3=-y^5)\).

Wir bekommen also zunächst 4 Fälle:

1.: \(x=y=0\)

2.: \(x=0, \; x^3=-y^5 \Rightarrow y=0\), also Fall 1.

3.: \(y=0, \; y^3=-x^5 \Rightarrow x=0\), also auch Fall 1.

4.: \(x,y\neq 0 \; \wedge y^3=-x^5 \; \wedge x^3=-y^5\), d.h.

\(x,y\neq 0 \; \wedge x^5=-y^3 \; \wedge x^3=-y^5\).

Multiplikation der beiden Gleichungen liefert

\(x^8=y^8\), also \((x/y)^8=1\). Da \(x,y\) reell sind, bedeutet das:

\(x/y=\pm 1\), also \(y=x\) oder \(y=-x\). Die kritischen Punkte,

d.h. die Nullstellen des Gradienten, sind also \((0,0)\) und die Punkte

auf den beiden Geraden \(y=x\) und \(y=-x\). Wo nun ein

lokales Extremum vorliegt, sagt uns die Definitheit der Hesse-Matrix.

Answer 4

Hallo

1, x=y=0 danach durch x^2 und y^2≠0 kürzen  dann sieht man das Verhältnis   von x^5/y^3 und y^5/x^3

damit kommst du auf die weiteren Lösungen

lul

Comments

Ich checks nicht. Ich hab jetzt x = 0, y = 0 und y^5 = -x^3 und x^5 = -y^3.

Und somit auf jeden Fall schonmal P1(0,0) ?!

Was mache ich nun? Wo kürze ich?

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x=-y^3/5 aus der ersten dann y^5=-x^3=y^9/5  welche Werte für y bleiben?

lul

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24y^7 - 24y^(19/5) = 0 <=> 24y^7 - 24y^(19/5) = 0 <=> 24y^(35/5) - 24y^(19/5) = 0 <=> 24y^(16/5) = 0 . y = 0 ?

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Nein, dein selbsterfundenes Potenzgesetz \(y^b-y^c = y^{b-c}\) gibt es nicht.

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hallo

Kannst du wirklich nicht aus y^5=y^9/5 auf y schließen

weisst du wie man bede Seiten durch y^9/5 teilt.  y^a/y^b=?

aber auch ohne das? wenn a≠b was kann man aus y^a=y^b schließen?

lul

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man kann y^5 = y^9/5 , die Exponenten subtrahieren, wenn man die beiden Seiten dividiert.

Also y^25/5 / y^9/5 = y^16/5

y^16/5 = 0

also y = 0

@abakus, da musste ich jetzt lachen.Ich mach nen Quatsch, wahnsinn. Ich habe mich bei Anwendung noch gefragt, ob es das überhaupt gibt. :D

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Was hältst Du von y=1 als Lösung?

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Wie das denn?

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Für y=1 ist y^5=1 und auch y^(9/5)=1. Oder nicht?

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Ja und? Das ist doch immer so. Also kann man diese Lösung immer angeben, bei solch einem Fall?

Was ist mit meiner Subtraktion der Exponenten, und dann y = 0? Ist das falsch?

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Was ich Dir näherbringen wollte, ist:

$$y^5=y^{9/5} \Rightarrow y=0 \text{ oder } y^{16/5}=1$$

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Allerdings ist zu beachten  dass eine Defimition für y^s für negative y problematisch ist.

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DAs heißt jetzt was für mich?

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hallo

 1. dass y=1 die Lösung ist hast du gesehen? jetzt ist die Frage ist y=-1 auch Lösung?  Probier es in den ursprünglichen Gleichungen, und dann x entsprechend bestimmen!

aber mit Potenzen umgehen musst du wirklich lernen und mit Gleichungen natürlich auch !!! das y^16/5 = 0 war der Hammer!

lul

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Ich habs jetzt erst gecheckt.

y⁵ = y^9/5

y^25/5 = y^9/5

y^25/5 / y^9/5 = 1

y^16/5 = 1

y = 1

Ich weiß auch nicht, das ist die Nervösität, dass ich dann sowas nicht sehe und son Quatsch mache. Morgen ist Klausur. Stichtag.

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was ist mit y=-1?

lul

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Die 16/5 Wurzel ist doch ungerade, also nein?

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Hallo

richtig

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Danke für den Test! :-) ich schaffe das morgen, und ihr alle, die mir hier geholfen haben, habt dazu viel beigetragen! Und falls ich es nicht schaffe, habt ihr mich wohl nochmal eine Zeit an der Backe :-)

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Leute, ich habe bestanden!!!!!! 3.3

Ich danke euch allen ganz herzlich, ihr habt alle dazu beigetragen!

Jetzt wars das erstmal mit Mathe, in meinem Studium. Vielleicht bis bald, wenn ich im Master bin... liebe Grüße euch allen!

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Glückwunsch!                  .