E-Funktion, Extrema bestimmen.

Question

Aufgabe:

Es sollen die Art und Lage aller Extrema der Funktion

f: ℝ² -> ℝ, (x,y) -> (3 - x^2 - y^2) * e^(-y) bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

fx = 2x * e^-y

fy = e^-y (-3 + x^2  - 2y + y^2)

fx = 0 <=> 2x * e^-y = 0 | : e^-y (hier darf ich doch durch e teilen, da e niemals null werden kann, also kann ich es so eliminieren, oder?)

2x = 0 => x = 0 in die zweite Gleichung.

e^-y (-3 + 2y + y^2) = 0

da e^-y nie null werden kann, betrachte ich nur die Klammer mit der PQ-Formel und erhalte y1 = 3 und y2 = -1

Also bekomme ich zwei Punkte: P1(0,3), P2(0,-1) für mögliche Extrema.

Ist das bis hierhin so korrektß

Comments

Du hast einen Übertragungsfehler bei "in die zweite Gleichung"

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Oh man.

-3 - 2y + y^2 = 0 <=> y^2 - 2y - 3 = 0

Also P1(0, 5), P2(0, -3)

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen die Extrema der Funktion$$f(x;y)=(3-x^2-y^2)\cdot e^{-y}$$

Kandidaten finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\binom{-2xe^{-y}}{-2ye^{-y}-(3-x^2-y^2)e^{-y}}=e^{-y}\binom{-2x}{-2y-3+x^2+y^2}$$Wegen \((e^{-y}>0)\) folgt aus Gleichung für die erste Koordinate \((x=0)\). Damit folgt aus der Gleichung für die zweite Koordinate:$$0=-2y-3+y^2=(y+1)(y-3)\implies y=-1\;\lor\;y=3$$Damit haben wir zwei Kandidaten gefunden:$$K_1(0|-1)\quad;\quad K_2(0|3)$$

Wir prüfen die Kandidaten mit der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{cc}-2e^{-y} & 2xe^{-y}\\2xe^{-y} & e^{-y}(1+4y-x^2-y^2)\end{array}\right)=e^{-y}\left(\begin{array}{cc}-2 & 2x\\2x & 1+4y-x^2-y^2\end{array}\right)$$$$H(0;-1)=e\left(\begin{array}{rr}-2 & 0\\0 & -4\end{array}\right)\implies\text{Eigenwerte: }-2\;;\;-4\implies\text{negativ definit}$$$$H(0;3)=\frac{1}{e^3}\left(\begin{array}{rr}-2 & 0\\0 & 4\end{array}\right)\implies\text{Eigenwerte: }-2\;;\;4\implies\text{indefinit}$$

Die Abbildung hat ein lokales Maximum bei \((0|-1)\) und sonst keine weiteren Extrema.

Answer 2

Sieh dir noch mal deine pq Formel an, oder setze dein Ergebnis zur Probe ein!

kurz : falsch

lul