Wie prüfe ich im allgemeinen, ob eine Funktion eine quadratische Form ist?

Question

Aufgabe:

Wie prüfe ich im allgemeinen, ob eine Funktion eine quadratische Form ist?

Im Beispiel:

Abbildung ℝ³ —> ℝ, (x,y,z) ↦x² - (y+z)²

Problem/Ansatz:

Wie zeige ich das? Ich möchte auch gerne im Allgemeinen wissen, wie ich das prüfe.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Die allgemeine quadratische Form lautet:$$B(x;y;z)=\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}\left(\begin{array}{ccc}a_{xx} & \frac12a_{xy} & \frac12a_{xz}\\[1ex]\frac12a_{xy} & b_{yy} & \frac12a_{yz}\\[1ex]\frac12a_{xz} & \frac12a_{yz} & a_{zz}\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$$$\phantom{B(x;y;z)}=a_{xx}x^2+a_{yy}y^2+a_{zz}z^2+a_{xy}xy+a_{xz}xz+a_{yz}yz$$Beachte, dass die Matrix symmetrisch ist.

Wenn du das verinnerlicht hast, kannst du die Matrix für diese Aufgabe sofort angeben:$$A(x;y;z)=x^2-(y+z)^2=x^2-y^2-2yz-z^2$$$$\phantom{A(x;y;z)}=\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & -1 & -1\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

Wenn eine solche Matrix nicht existiert, liegt auch keine quadratische Form vor.

Answer 2

Unter einer Form versteht man in der Algebra ein Polynom oder eine

polynomiale Abbildung,

die in den Unbestimmten homogen ist. Eine quadratische Form \(q\)

ist homogen vom Homogenitätgrad 2.

Es gilt also \(q(c\cdot x_1,\cdots, c\cdot x_n)=c^2\cdot q(x_1,\cdots,x_n)\),

wobei die \(x_1,\cdots,x_n\) Unbestimmte sind, bzw.

\((x_1,\cdots,x_n)\in K^n\) ist. Eine andere Charakterisierung ist,

dass \(B(v,w):=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w))\) mit \(v,w\in V\),

\(V\) ein endlich-dimensionaler Vektorraum,

eine symmetrische Bilinearform ist.