Berechnen Sie eine Iteration des LMM

Question

Aufgabe:

Wir betrachten eine numerische Approximation des AWP

x'=-x²  mit x(0)= 1

Berechnen Sie eine Iteration des LMM

x_j+2 = \( \frac{4}{3} \)* x_j+1 -\( \frac{1}{3} \)*x_j +\( \frac{2*h}{3} \) *f(x_j+2)

Problem/Ansatz:

ich habe die mehrschritt gleichung nach der allgemeinen vorrschirft umgestellt und dann dann die werte eingesetzt. F(x_j+2) habe ich gelassen und dann nach f umgestellt und bekomme:

3*x_j+2-1 = f(x_j+2})

Was muss ich jetzt machen oder ist mein ansatzt falsch?

Comments

Mir ist dein Ergebnis \( 3 x_{j+2} - 1 = f(x_{j+2}) \) überhaupt nicht klar. Wie bist Du darauf gekommen? Das ist keine Iteration mehr und die Schrittweite fehlt auch. Schreib das mal detaillierter auf.

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ach tut mir leid es wurde noch gegeben h= 1/2 ; x₀=1 ; x₁= 1/2  ; f(x)=-x²

ich habe h x0 und x1 eingesetzt und nach f(x_j+2) aufgelößt

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Hallo aber f(x_j+2)=-x_j+2^2?

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wie bist du darauf gekommen?

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da steht doch x'=f(x)=-x^2

lul

Answer 1

Mit den gemachten Angaben bekommt man doch folgende rekursive Gleichung

$$ x_{j+2} + \frac{2}{3} h x_{j+2}^2 - \frac{4}{3} x_{j+1} + \frac{1}{3} x_j = 0 $$

Das sit eine quadratische Gleichung für \( x_{j+2} \) die man lösen kann.

Die Lösungen sind $$ x_{j+2_{1,2}} = \frac{-3 \pm \sqrt{ 9 +32 h x_{j+1} - 8 h x_j } } { 4h } $$

Das ist jetzt eine normale rekursive Gleichung die mit den gegebenen Anfangswerten gelöst werden kann.

Die Lösung der Ausgangs Dgl. ist $$ x(t) = \frac{1}{t+1} $$

Das sieht dann so aus

 

und die Übereinstimmung wird besser, je kleiner \( h \) wird.

Comments

Für welches Vorzeichen hast Du Dich bei der Wurzel entschieden?

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Für das \( + \). Beim Minuszeichen werden die Lösungen imaginär.

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wie bist du von x_j+2 also da wo du die quadratische gleichung auflößt auf x(t) gekommen ?

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x(t) ist die exakte Lösung. Hat nichts mit der Näherungslösung zu tun.

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achso okay

wenn ich jetzt x_j+2  ausrechne und die formel wie du es hast aufschreibe. setzte ich dann x₀, x₁ und h ein ?

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Ja genau,..................

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Übrigens ist es ja nicht in jedem Fall möglich, die nichtlineare Gleichung für \( x_{j+2} \) analytisch aufzulösen wir hier beschrieben.

Normalerweise löst man dann das Problem dadurch, dass man die nichtlineare Gleichung für \( x_{j+2} \) durch ein Näherungsverfahren löst. Das kann man mittels Banachschem Fixpunktsatz machen oder mit dem Newtonverfahren.

Da das aber in jedem Iterationsschritt gemacht werden muss ist es aufwendig. Außerdem hast Du das Problem, dass man die Konvergenz des Näherungsverfahren sichern muss. Und das ist nicht so einfach. Das Newtonverfahren konvergiert nur, wenn man einen Startwert in Nähe der Lösung hat.

Beim Banaschem Fixpunktsatz musst Du nachweisen das eine kontrahierende Abbildung vorliegt. Ist manchmal auch nicht einfach oder einfach auch nicht gegeben.

Deshalb bin ich kein Freund solcher Verfahren. Stell Dir mal vor, Du hast eine sicherheitskritische Anwendung und Dein Verfahren konvergiert nicht oder gegen den falschen Wert. Dann wird es wirklich kritisch.

Und wenn dann noch eine Schrittweitensteuerung dazu kommt wirds nochmal komplizierter.

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Hallo,

allerdings mildert das typische Mehrschrittverfahren die von Dir genannten Probleme:

Beim Newtonverfahren ist die letzte Näherung ein guter Startwert für die nächste Näherung

Beim Iterationsverfahren hat "das f" im allgemeinen einen Faktor h, der als Schrittweite ja "klein" ist.

Gruß Mathhilf

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Ja das ist richtig. Ich arbeite aber in einem sicherheitskritischen Bereich. Da sind solche Verfahren nicht erlaubt, insbesondere wegen des fehlenden Nachweises der Konvergenz. Wir verwenden nur explizite Verfahren.