Wie bestimme ich nun den ersten Hauptvektor?

Question

Ich hätte eine Frage bzgl der Bestimmung des Hauptvektors: Der doppelte Eigenwert war 2 und der erste Eigenvektor ist
\( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \)

Wie bestimme ich nun den ersten Hauptvektor?

\( \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -4 & 4\end{array}\right] \)

Answer 1

Die Matrix heiße \(A\). Das charakteristische Polynom von \(A\)

ist \((X-2)^2\). Nach Cayley-Hamilton gilt daher

\((A-2E_2)^2=0\quad (*)\).

Damit sind alle Vektoren \(\neq 0\), die nicht Eigenvektoren sind,

Hauptvektoren 2-ter Stufe.

\(v_2=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\) ist kein Eigenvektor,

also ein Hauptvektor 2-ter Stufe.

Wir setzen \(v_1=(A-2E_2)v_2\).

Dies ist dann wegen \((*)\) ein Eigenvektor: \(v_1=\left(\begin{array}{c}-2\\-4\end{array}\right)\),

passend zu dem Hauptvektor \(v_2\).