Gesucht ist die kleinste ganze Zahl, die grösser als 4e ist.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die kleinste ganze Zahl, die grösser als 4e ist.

Leider stehe ich gerade auf den Schlau!

Könnte mir jemand eine ausführliche Antwort geben, was das Ergebnis ist und wieso?

Answer 1

Es ist$$(1)\quad\mathrm e=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}>\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}=\frac52.$$$$(2)\quad\mathrm e^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac1{(2k)!}-\frac1{(2k+1)!}\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{2k}{(2k+1)!}>\frac0{1!}+\frac2{3!}+\frac4{5!}=\frac{11}{30}.$$Daraus folgt$$\frac52<\mathrm e<\frac{30}{11},$$und daraus nach Multiplikation mit \(4\)$$10<4\mathrm e<\frac{120}{11}<\frac{121}{11}=11.$$

Answer 2

Also mein Taschenrechner sagt, dass 4e rund 10,87 ist. Was wird wohl die nächste ganze Zahl sein?

Comments

So dürfte das wohl kaum gemeint sein.

---

Ich finde deine Lösung toll.

Der allgemein bekannte Näherungswert 2,71... ist allerdings ausreichend genau, dass das Hinzufügen oder Weglassen der nachfolgenden Dezimalstellen nichts daran ändert, dass 4e zwischen 10 und 11 liegen muss.

Man könnte auch nutzen, dass e im Sandwich zwischen (1+1/n)^n und (1+1/n)ⁿ⁺¹ liegt.

Bereits bei relativ kleinen n überschreitet der monoton wachsende erste Term die Marke von 2,5, während der fallende zweite Term auch schnell unter 2,75 sinkt.

---

Lt. WA müsste dann \(n>42\) sein. Viel Spaß beim Nachrechnen, dass \(\big(1+\frac{1}{43}\big)^{44}<\frac{11}4\) ist.

---

Sagt mein CAS.......................