Bestimmen Sie die Schnittstellen von f(x)=(e^x-2)^2 und g(x)=e^x

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittstellen von f(x)=(e^x-2)^2 und g(x)=e^x

Für welchen wert von x zwischen diesen Schnittstellen ist der Abstand von f und g (d.h. die Differenz der Funktionswerte von f und g) am größten?

Problem/Ansatz:

Als erstes habe ich (e^x-2)^2=e^x gesetzt. Jedoch weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll, damit ich auf die x-Werte komme.

Danke im voraus

Answer 1

f(x) = g(x)

f(x) - g(x) = 0

(e^x - 2)^2 - e^x = 0

(e^(2·x) - 4·e^x + 4) - e^x = 0

e^(2·x) - 5·e^x + 4 = 0

Subst. z = e^x

z^2 - 5·z + 4 = 0

z = 4 → x = LN(4) = 2·LN(2)

z = 1 --> x = LN(1) = 0

Comments

Und für die maximale Differenz der funktionswerte muss ich jetzt die differenzfunktion ableiten und gleich Null setzen oder?

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Und für die maximale Differenz der funktionswerte muss ich jetzt die differenzfunktion ableiten und gleich Null setzen oder?

Ja. Völlig richtig.

Lass dir auch z.B. bei Geogebra die Graphen zeichnen. Dann rechnerische Ergebnisse auch gleich grafisch kontrollieren.

~plot~ (e^x-2)^2;e^x;[[-2|2|0|5]] ~plot~

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Ich habe bei D'(x)=0 für x=0,92 raus

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Das ist richtig. Etwas korrekter

x = LN(5/2) ≈ 0.9163

Das kann man ja bereits näherungsweise in der Skizze ablesen. Dann hat man ja gleich eine Kontrolle.

Answer 2

Substituiere e^x=z. Erkennst du, dass eine quadratische Gleichung entsteht?

Comments

Ja, ich habe jetzt für x1= 1,386 und für x2=0 raus. Und jetzt muss ich doch D(x)=g(x)-f(x) machen, dann D'(x)=0 oder?

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Und jetzt muss ich doch D(x)=g(x)-f(x) machen, dann D'(x)=0 oder?

Was denn sonst?

Answer 3

Und jetzt noch die zweite Ableitung bilden um nachzuweisen, dass in der Tat ein Maximum vorliegt.