mithilfe des Residuensatzes berechnen

Question

Aufgabe:

Mithilfe des Residuensatzes berechnen

\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+\pi^{2}\right)^{2}} d x \)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen? Ich scheitere leider den residuum zu berechnen. am besten sollte ich den Integrationsweg in der komplexen Ebene umschreiben, bloß bin ich mir da etwas unsicher. Für die Polstellen habe ich z0=Pi i und z1= - Pi i . Dementsprechend mit der Ordnung n = 1. ich vermute, man braucht bloß das residuum von z0, da wir lediglich diese Stelle umlaufen.

Würde mich sehr freuen, wenn mir hier jemand weiterhelfen kann. Danke im Voraus!!

Answer 1

Hallo,

obere Halbebene: π i , Pol 2.Ordnung; k=2

Comments

Vielen dank, für deine Mühe!

Answer 2

Dein Integrationsweg wird ein oberer Halbkreis sein. Du muss also die Polstellen finden, welche nicht-negativen Imaginärteil haben (hier haben zum Glück keine Nullstellen Imaginärteil Null, sodass wir den Integrationsweg nicht anpassen müssen). Die Nullstellen sind \(i \pi\) und \(- i \pi\) (jeweils doppelt) wobei lediglich die \(i \pi\) positiven Imaginärteil hat. Das Residuum an dieser Stelle kannst du nun selbst berechnen, es ist gegeben durch

\(\begin{aligned} \lim_{z\to \pi i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \frac{( z - \pi i)^{2}}{( z - \pi i)^{2}( z + \pi i)^{2}}\end{aligned} .\)

Comments

Hey danke für deine Hilfe, könntest du mir noch kurz erläutert, weshalb die nullstellen jeweils doppelt vorkommen? Haben diese dann die Ordnung 2?

Könntest du noch überprüfen ob für das integral 1/2 rauskommt?

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Oder eventuell 1? Habe es mit dem Residuensatzes berechnet