Berechnen Sie mithilfe des Zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise den Wert für y, für den gilt P(Y y) = 0.07.

Question

Die Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

x	19	9	2	6	15	11
P(X=x)	0.25	0.25	0.03	0.22	0.13	0.12

Die Zufallsvariable Y sei gegeben durch

Y = 2.87 * X1 + 2.87 * X2 .... + 2.87 * X808,

wobei X1 bis X808 unabhängige Ziehungen aus der Verteilung von X sind.

Berechnen Sie mithilfe des Zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise den Wert für y, für den gilt P(Y < y) = 0.07.

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich hier zur Lösung komme?

Ist P (Y<y) = 0.07 mein Erwartungswert?

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten zunächst die Zufallsvariable $X$:$$\left<X\right>=\sum\limits_{k=1}^6x_k\cdot P(X=x_k)$$$$\phantom{\left<X\right>}=19\cdot0,25+9\cdot0,25+2\cdot0,03+6\cdot0,22+15\cdot0,13+11\cdot0,12=11,65$$$$\left<X^2\right>=\sum\limits_{k=1}^6x^2_k\cdot P(X=x_k)$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=19^2\cdot0,25+9^2\cdot0,25+2^2\cdot0,03+6^2\cdot0,22+15^2\cdot0,13+11^2\cdot0,12=162,31$$

Für den Erwartungswert $\mu(X)$ und die Varianz $V(X)$ erhalten wir damit:$$\mu(X)=\left<X\right>=11,65\quad;\quad V(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=26,5875$$

Damit bestimmen wir den Erwartungswert $\mu(X)$ und die Varianz $V(Y)$ von $Y$:

Da der Erwartungswert linear ist gilt:$$\mu(Y)=\left<2,87\cdot\sum\limits_{k=1}^{808}X\right>=2,87\cdot\sum\limits_{k=1}^{808}\left<X\right>=2,87\cdot808\cdot\left<X\right>=27\,015,884$$

Da die einzelnen Experimente für $X$ unabhängig voneinander sind, addieren sich die Varianzen$$V(Y)=V\left(2,87\cdot\sum\limits_{k=1}^{808}X\right)=V\left(\sum\limits_{k=1}^{808}2,87\cdot X\right)=\sum\limits_{k=1}^{808}V\left(2,87\cdot X\right)$$$$\phantom{V(Y)}=808\cdot V(2,87\cdot X)=808\cdot2,87^2\cdot V(X)=176950,85163$$

Nun verwenden wir die Gauß'schen Normalverteilung zur Bestimmung von $y$:$$0,07\stackrel!=P(Y<y)=\phi\left(\frac{y-\mu(Y)}{\sigma(Y)}\right)\quad\bigg|\phi^{-1}(\cdots)$$$$\phi^{-1}(0,07)=\frac{y-\mu(Y)}{\sigma(Y)}\quad\bigg|\cdot\sigma(Y)\;\bigg|\;+\mu(Y)$$$$y=\phi^{-1}(0,07)\cdot\sigma(Y)+\mu(Y)\quad\bigg|\text{Werte einsetzen}$$$$y=-1,475791\cdot\sqrt{176950,85163}+27\,015,884\quad\big|\text{ausrechnen}$$$$y\approx26395,0847$$

Comments

Darf ich fragen, wie genau man auf das Ergebnis 176950,85163 bei der Addition der Varianzen kommt? Das ist mir gerade leider nicht schlüssig..