Warnung: Dieser Beweis steht auf etwas wackligen Beinen. Ich werde L'Hospital verwenden und nehme an, dass ich nach r_n differenzieren darf, obwohl auch Winkel in der Gleichung sind, die eigentlich von n abhängen. Ich denke, dass darf man machen, ich hab aber keinen Satz/Beweis, der das belegt.
Wir wählen eine beliebige Nullfolge, bei der wir mit Polarkoordinaten so substituieren können, dass der Winkel beliebig ist und nur der Radius gegen Null geht:
$$(x_n,y_n)=(r_n\cos(\alpha),r_n\sin(\alpha))\rightarrow (0,0)\qquad(n\to\infty)$$
Nun bestimmen wir den Limes dieser Folge, wenn die Funktion auf sie angewandt wird:
$$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{r_n\sin(\alpha)(\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}-\sqrt5)^2}{r_n^2(\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2)}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\alpha)(\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}-\sqrt5)^2}{r_n}\end{aligned}\\\overset{L'Hospital}{=}\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\alpha)\cdot2\cdot\overbrace{(\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}-\sqrt5)}^{\to0}\cdot\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}\cdot\cos(\alpha)}{1}=0$$
Der Grenzwert jeder Nullfolge liegt also bei 0 (unter Annahme der am Anfang genannten Bedenken). Daraus folgt die Stetigkeit.