Zeigen Sie Stetigkeit in (0,0).

Question

\( \frac{a}{b} \) Aufgabe:

Zeigen Sie Stetigkeit in (0,0).

Problem/Ansatz

Gegeben sei f für (x,y) ungleich (0,0) durch

f(x,y) = (y* (wurzel(5 + |x|) -wurzel(5))^2)/ (y^2+x^2)

und f(x,y)= 0 für (x,y)= (0,0).

Ich habe schon versucht wie wild im nenner abzuschätzen , damit ich <=0 rausbekomme, aber ich krieg das nicht hin.

Comments

Sollst du wirklich Stetigkeit nachweisen? oder eher doch untersuchen ob f(x,y)= in 0 stetig ist?

lul

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eigentlich untersuchen, aber ich weiß schon, dank lösung, dass es zeigen ist.

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luls Frage ist berechtigt.

ist$$\frac{(y\sqrt{5+|x|}-\sqrt{5})^2}{y^2+x^2}$$wirklich der Ausdruck für \((x,y)\neq (0,0)\) ?

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Oder heißt es vielleicht \(f(x,y)=\dfrac{y\cdot\left(\sqrt{5+\lvert x\rvert}-\sqrt5\right)^{\!2}}{y^2+x^2}\) ?

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es ist das zweite.

ich dachte, ich hätte die klammern richtig gesetzt...

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Ich würde dann mal mit

$$(\sqrt{5+|x|}+\sqrt{5})^2$$

erweitern.....

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Vorschlag:$$(1)\quad\sqrt{5+\lvert x\rvert}-\sqrt5=\frac{\lvert x\rvert}{\sqrt{5+\lvert x\rvert}+\sqrt5}\le\vert x\rvert.$$$$(2)\quad\lvert f(x,y)\rvert=\frac{\lvert y\rvert\cdot\left(\sqrt{5+\lvert x\rvert}-\sqrt5\right)^{\!2}}{y^2+x^2}\le\frac{\lvert y\rvert\cdot x^2+\lvert y^3\rvert}{y^2+x^2}=\lvert y\rvert.$$

Answer 1

Warnung: Dieser Beweis steht auf etwas wackligen Beinen. Ich werde L'Hospital verwenden und nehme an, dass ich nach r_n differenzieren darf, obwohl auch Winkel in der Gleichung sind, die eigentlich von n abhängen. Ich denke, dass darf man machen, ich hab aber keinen Satz/Beweis, der das belegt.

Wir wählen eine beliebige Nullfolge, bei der wir mit Polarkoordinaten so substituieren können, dass der Winkel beliebig ist und nur der Radius gegen Null geht:
$$(x_n,y_n)=(r_n\cos(\alpha),r_n\sin(\alpha))\rightarrow (0,0)\qquad(n\to\infty)$$
Nun bestimmen wir den Limes dieser Folge, wenn die Funktion auf sie angewandt wird:
$$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{r_n\sin(\alpha)(\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}-\sqrt5)^2}{r_n^2(\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2)}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\alpha)(\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}-\sqrt5)^2}{r_n}\end{aligned}\\\overset{L'Hospital}{=}\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\alpha)\cdot2\cdot\overbrace{(\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}-\sqrt5)}^{\to0}\cdot\sqrt{5+(r_n\cos(\alpha))}\cdot\cos(\alpha)}{1}=0$$

Der Grenzwert jeder Nullfolge liegt also bei 0 (unter Annahme der am Anfang genannten Bedenken). Daraus folgt die Stetigkeit.

Comments

Dieser Ansatz ist grundsätzlich falsch. Es muss eine beliebige Folge betrachtet werden, also, wenn es Polarkoordinaten sein sollen

$$(x_n,y_n)=(r_n\cos(a_n),r_n\sin(a_n))$$

Lässt man den Winkel konstant, kann man höchstens ein Gegenbeispiel bei Unstetigkeit finden.

Gruß Mathhilf

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Wie gesagt, ich bin mir bei dem Ansatz auch nicht sicher, aber ich habe schon bedacht, dass alpha von n abhängt.

Meine Idee wäre nur, dass sofern ich r_n gegen 0 gehen lasse, für alle alpha in [0;2pi] der Ausdruck gegen 0 geht. Also insbesondere auch für alpha_n. Wenn das falsch ist, nehme ich die Antwort natürlich gerne raus. Ich hab jetzt nur spontan weder einen Satz gefunden, der dieser Aussage widerspricht, noch einen gefunden, der sie belegt. Intuitiv würde ich sagen, sie stimmt.