Monopolist Werkzeugmaschinen (Preis-Absatz-Funktion)

Question

Aufgabe:

Die Gilbert GmbH produziert hoch spezialisierte Werkzeugmaschinen. Mit diesem Angebot ist das Unternehmen am Markt Monopolist. Die Erfolgssituation der Gilbert GmbH lässt sich durch die folgende Kostenfunktion K(x) und Preis-Absatz-Funktion p(x) beschreiben:

K(x) = 4000x + 32000  p(x) -4000x +40000

Der ökonomische Definitionsbereich ist: D{ök} [0;10]

(1 GE entspricht 1,00€, 1 ME entspricht 1 Stück)

1.1 Ermitteln Sie die Kosten und den Preis bei einer Produktion von 4 Stück, den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

1.2 erläutern sie in vollständigen Sätzen die ökonomische Bedeutung der Steigung und des y-Achsenabschnitt bei der vorliegenden Kostenfunktion

1.3 Ermitteln sie in einem nachvollziehbaren Lösungsweg die Funktionsgleichungen der Erlösfunktion und der Gewinnfunktion

1.4 Bestimmen Sie nun ebenfalls den Erlös und den Gewinn bei einer Produktion von 4 Machinen

1.5 Ermitteln Sie die Nullstellen der Erlösfunktion rechnerisch

1.6 Beschreiben Sie kurz einen LösungsWeg zur Berechnung des maximalen Erlöses.Ermitteln Sie dann die erlösmaximale Produktionsmenge und den maximalen Erlös.

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf das Ergebnis bei dieser Textaufgabe? (Gewinnfunktion, Erlösfunktion etc.)

Comments

Kannst du bitte auch die Quelle der Aufgabe (Buch, Ausgabe, Seite) angeben?

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Ist ein Arbeitsblatt.

Warum ist die Quelle wichtig wenn ich fragen darf?

Vielen Dank

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Quellenangaben sind zum einen guter Stil und zum anderen kann ich bei Kenntnis der Quelle auch mal meine Büchersammlung befragen. :-)

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...lässt sich durch die folgende Kostenfunktion K(x) und Preis-Absatz-Funktion p(x) beschreiben:

Dann kommt eine Kostenfunktion. Aber keine PAF. Ist die Aufgabe vollständig und richtig abgeschrieben worden?

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Ja habe die Aufgabe eigentlich vollständig und richtig abgeschrieben.

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Siehe oben, es fehlt eine PAF. Das ist etwas wo steht p(x), dann ein Gleichheitszeichen, dann ein Term rechts vom Gleichheitszeichen.

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p(x) = -4000x + 40000

Ist das die Preis-Absatz-Funktion?

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Ja. Steht aber laut Fragesteller nicht so auf seinem Aufgabenblatt.

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Keine Ahnung leider

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Ich denke, man kann erahnen, dass der Schüler

p(x) = -4000x + 40000

schreiben wollte und einfach nur das "=" aufgrund einer klemmenden Tastatur nicht übertragen wurde.

Man kann nur hoffen, dass nicht auch andere Tasten auf der Tastatur klemmen und so auch andere Dinge fehlerhaft übertragen werden.

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Kann man erahnen. Darum hatte ich nachgefragt. Der Fragesteller verneint es. Vielleicht klemmte ja die Tastatur beim Aufgabenautor. Wobei mir dessen Ausrede eigentlich Banane ist.

Die Verwechslung mit "invers" ist wieder weg, sehe ich gerade.

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Vom Duplikat:

Titel: Aufgabe könnte einer Helfen?

Stichworte: quadratische,funktion

Aufgabe:

Die Gilbert GmbH produziert hoch spezialisierte Werkzeugmaschinen. Mit diesem Angebot ist das Unternehmen am Markt Monopolist. Die Erfolgssituation der Gilbert GmbH lässt sich durch die folgende Kostenfunktion K(x) und Preis-Absatz-Funktion p(x) beschreiben:

K(x) = 4000x + 32000  p(x)= -4000x +40000

Der ökonomische Definitionsbereich ist: D{ök} [0;10]

(1 GE entspricht 1,00€, 1 ME entspricht 1 Stück)

1.1 Ermitteln Sie die Kosten und den Preis bei einer Produktion von 4 Stück, den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

1.2 erläutern sie in vollständigen Sätzen die ökonomische Bedeutung der Steigung und des y-Achsenabschnitt bei der vorliegenden Kostenfunktion

1.3 Ermitteln sie in einem nachvollziehbaren Lösungsweg die Funktionsgleichungen der Erlösfunktion und der Gewinnfunktion

1.4 Bestimmen Sie nun ebenfalls den Erlös und den Gewinn bei einer Produktion von 4 Machinen

1.5 Ermitteln Sie die Nullstellen der Erlösfunktion rechnerisch

1.6 Beschreiben Sie kurz einen LösungsWeg zur Berechnung des maximalen Erlöses.Ermitteln Sie dann die erlösmaximale Produktionsmenge und den maximalen Erlös.

Problem/Ansatz:

Kann mir einer bei dieser Mathe Aufgabe behilflich sein?

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1.1 Ermitteln Sie die Kosten und den Preis bei einer Produktion von 4 Stück

K(4) = 4000·4 + 32000 = 48000 GE

p(4) = - 4000·4 + 40000 = 24000 GE/ME

den Höchstpreis

p(0) =  - 4000·0 + 40000 = 40000 GE/ME

und die Sättigungsmenge.

p(x) = - 4000·x + 40000 = 0 --> x = 10 ME

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Als erstes empfiehlt sich bei sowas immer zuerst die Graphen zu skizzieren:

(Da muss man n bisschen rumspielen und schauen, welches Intervall am besten dafür geeignet ist)

(Tipp: +32.000 und +40.000 sind die y-Achsenabschnitte.)

Aufgabe 1.1 (GE = Geldeinheit auf y-Achse; ME = Mengeneinheit auf x-Achse)

Kosten bei einer Produktion von 4 Stück: K(4) = 4.000 * 4 + 32.000 = 48.000€
Preis bei einer Produktion von 4 Stück:   p(4) = - 4.000 * 4 + 40.000 = 24.000€

Höchstpreis = globales Maximum von p(x) im Intervall von [0;10]
Da der y-Achsenabschnitt bei 40.000 und die Funktion sinkt, Höchstpreis = 40.000€ 

Sättigungsmenge = Nullstelle der Preis-Absatz-Funktion

p(x) = 0
0 = - 4.000x + 40.000 | - 40.000
-40.000 = -4.000x      | : (-4.000)
 10        =  x

Aufgabe 1.2

Steigung: Pro Stück nehmen die Kosten um 4.000€ zu. (Oder die Herstellung eines Stücks kostet 4.000€)
y-Achsenabschnitt: Die Anfangskosten betragen 32.000€

Aufgabe 1.3 

Erlösfunktion E(x) = p(x) * x
E(x) = (-4.000x + 40.000) * x = -4.000x^2 + 40.000x  (das ist die lila Parabel)

Gewinnfunktion G(x) = Erlösfunktion E(x) - Kostenfunktion K(x)
G(x) = (-4.000x^2 + 40.000x) - (4.000x + 32.000) = -4.000x^2 + 44.000x -32.000

(G(x) ist die rote Parabel)

Aufgabe 1.4

E(4) = -4.000 * 4^2 + 40.000 * 4 = 96.000€
G(4) = -4.000 * 4^2 + 44.000 * 4 - 32.000 = 80.000€ 

Aufgabe 1.5

E(x) = 0
0  = -4.000x^2 + 40.000x | : (-4.000)
0 =  x^2 - 10x = x * (x-10) 

Satz vom Nullprodukt: E(x) ist 0 wenn x = 0, oder wenn x - 10 = 0
x_1 = 0 und x_2 = 10

Aufgabe 1.6

Hochpunkt der Erlösfunktion ist gesucht (x|y) -> (erlösmaximale Produktionsmenge | maximaler Erlös).

E(x) = -4.000x^2 + 40.000x
E'(x) = -8.000x + 40.000

notw. Bed.: E'(x) = 0
0 = -8.000x + 40.000 | : (-8.000)
0 = x - 5 | +5
5 = x

(Statt der hin. Bed. reicht es hier auch darauf hinzuweisen, dass es sich um eine unten geöffnete Parabel handelt.)

Zum Schluss noch x in die Stammfunktion einsetzen:

E(5) = -4.000 * 5^2 + 40.000 * 5 = 100.000€

A: Die erlösmaximale Produktionsmenge beträgt 5 Stück und der maximale Erlös 100.000€.

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Vom Duplikat:

Titel: Wirtschaftsmathe Aufgabe/ Kosten Erlösfunktion

Stichworte: gewinnfunktion,erlösfunktion

Aufgabe:
Situation
Die Werkzeug AG mit Sitz in München produziert hoch spezialisierte Werkzeugmaschinen. Mit diesem Angebot ist das Unternehmen am Markt Monopolist.
Die Erfolgssituation der Werkzeug AG lässt sich durch die folgende Kostenfunktion K(x)
und Preis-Absatz-Funktion p(x) beschreiben:
K(x) = 4.000x + 32.000
p(x) = -4.000x + 40.000

Der ökonomische Definitionsbereich ist: D(ök)[0;10]
(1 GE entspricht 1,00 € , 1 ME entspricht 1 Stück)

1.1 Ermitteln Sie die Kosten und den Preis bei einer Produktion von 4 Stück, den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

1.2 Erläutern Sie in vollständigen Sätzen die ökonomische Bedeutung der Steigung und
des y-Achsenabschnitts bei der vorliegenden Kostenfunktion.

1.3 Ermitteln Sie in einem nachvollziehbaren Lösungsweg die Funktionsgleichungen der Erlösfunktion und der Gewinnfunktion.

Falls Sie hier zu keiner Lösung gelangen, gehen Sie in den folgenden Aufgaben von folgenden Funktionen aus:
E(x) = -4.000x^2 + 40.000x und G(x) = -4.000x^2 + 36.000x - 32.000


1.4 Bestimmen Sie nun ebenfalls den Erlös und den Gewinn bei einer Produktion von 4 Maschinen.

1.5 Ermitteln Sie die Nullstellen der Erlösfunktion rechnerisch.


1.6 Beschreiben Sie kurz einen Lösungsweg zur Berechnung des maximalen Erlöses.
Ermitteln Sie dann die erlösmaximale Produktionsmenge und den maximalen Erlös.

1.7 Zeichnen Sie die Graphen der Preis-Absatz-Funktion, der Kostenfunktion, der Erlösfunktion, den Höchstpreis, die Sättigungsmenge und das Erlosmaximum in das Koordinatensystem ein. (Wenn auf dem Forum möglich)

1.8 Beurteilen Sie die Gewinnsituation, wenn der Monopolist 9 Maschinen anbietet.

1.9 Bestimmen Sie die Ausbringungsmengen, wenn der Monopolist einen Gewinn von
40.000,00 € erzielen will.

1.10 Ermitteln Sie die Gewinnschwelle und Gewinngrenze rechnerisch.

1.11
Bestimmen Sie die Scheitelform der Gewinnfunktion und ermitteln Sie an-
schließend das Gewinnmaximum und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge.


1.12 Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion, die Gewinnschwelle, die Gewinngrenze und das Gewinnmaximum in das obige Koordinatensystem ein.

1.13 Ermiteln Sie die den gewinmaximalen Absatzpreis und zeichnen diesen ebenfalls
in das Koordinatensystem ein.

1.14 Durch Preisänderungen am Beschaffungsmarkt ändert sich die Kostenstruktur der Werkzeug AG. Geben Sie für jeden Fall jeweils die neue Kostenfunktion an.

a) Der Preis für Schnellstahl, einem wichtigen Rohstoff für die Produktion der Werkzeugmaschinen, steigt. Dadurch erhöhen sich die variablen Kosten für die Maschinen um 1/4.

b) Die Miete für eine Lagerhalle erhöht sich um 1.000 GE.

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte einer bei dieser Mathe-Aufgabe weiterhelfen? (Wirtschaftsmathe)

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Vielen Dank

Die Aufgabe geht weiter konnten es nicht lösen. Wäre auch der zweite Teil lösbar?;

Aufgabe:
Situation
Die Werkzeug AG mit Sitz in München produziert hoch spezialisierte Werkzeugmaschinen. Mit diesem Angebot ist das Unternehmen am Markt Monopolist.
Die Erfolgssituation der Werkzeug AG lässt sich durch die folgende Kostenfunktion K(x)
und Preis-Absatz-Funktion p(x) beschreiben:
K(x) = 4.000x + 32.000
p(x) = -4.000x + 40.000

Der ökonomische Definitionsbereich ist: D(ök)[0;10]
(1 GE entspricht 1,00 € , 1 ME entspricht 1 Stück)

...

...

1.7 Zeichnen Sie die Graphen der Preis-Absatz-Funktion, der Kostenfunktion, der Erlösfunktion, den Höchstpreis, die Sättigungsmenge und das Erlosmaximum in das Koordinatensystem ein. (Wenn auf dem Forum möglich)

1.8 Beurteilen Sie die Gewinnsituation, wenn der Monopolist 9 Maschinen anbietet.

1.9 Bestimmen Sie die Ausbringungsmengen, wenn der Monopolist einen Gewinn von
40.000,00 € erzielen will.

1.10 Ermitteln Sie die Gewinnschwelle und Gewinngrenze rechnerisch.

1.11
Bestimmen Sie die Scheitelform der Gewinnfunktion und ermitteln Sie an-
schließend das Gewinnmaximum und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge.


1.12 Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion, die Gewinnschwelle, die Gewinngrenze und das Gewinnmaximum in das obige Koordinatensystem ein.

1.13 Ermiteln Sie die den gewinmaximalen Absatzpreis und zeichnen diesen ebenfalls
in das Koordinatensystem ein.

1.14 Durch Preisänderungen am Beschaffungsmarkt ändert sich die Kostenstruktur der Werkzeug AG. Geben Sie für jeden Fall jeweils die neue Kostenfunktion an.

a) Der Preis für Schnellstahl, einem wichtigen Rohstoff für die Produktion der Werkzeugmaschinen, steigt. Dadurch erhöhen sich die variablen Kosten für die Maschinen um 1/4.

b) Die Miete für eine Lagerhalle erhöht sich um 1.000 GE.

Answer 1

Wie kommt man auf das Ergebnis bei dieser Textaufgabe? (Gewinnfunktion, Erlösfunktion etc.)

G = K minus E

E = x mal p

etc. ?

Comments

Danke. Die Formeln kenn ich kann  aber diese Textaufgaben irgendwie nie lösen weil ich zwischendurch irgendwo hänge und hänge da dann immer Fest. Wenn ich mal so eine Musteraufgabe habe kann ich vielleicht die restlichen.Kurz vor der Klausur geht's sowieso nicht mehr

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etc. ?

Das ist schon richtig. Funzt aber nicht... wenn man das Problem mit der PAF nicht sieht weil man die Aufgabe nicht richtig abgeschrieben hat oder der Autor sie nicht richtig aufgeschrieben hat, dann hat man schon die Frage nicht verstanden.

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Habe es 1:1 so wie es auf dem Arbeitsblatt steht :(

Ich glaube das mit Gewinnfunktion etc. hat für Verwirrung gesorgt das sollten nur Stichwörter sein und nicht die eigentliche Frage. Die eigentliche Aufgabe steht ja da drüber

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...Gewinnfunktion etc. hat für Verwirrung gesorgt das sollten nur Stichwörter sein und nicht die eigentliche Frage.

In 1.3 wird explizit die Gewinnfunktion verlangt.

Answer 2

Erlös (blau), Kosten (rot), Gewinn (grün):

Answer 3

Hallo,

1.1 Ermitteln Sie die Kosten und den Preis bei einer Produktion von 4 Stück, den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

Setze 4 für x in die Kosten bzw. die Preisfunktion ein. Der Höchstpreis ist der Schnittpunkt der Preis-Absatz-Funktion mit der y-Achse, die Sättigungsmenge entspricht der Nullstelle.

1.2 erläutern sie in vollständigen Sätzen die ökonomische Bedeutung der Steigung und des y-Achsenabschnitt bei der vorliegenden Kostenfunktion

Korrektur:

Bei einer linearen Kostenfunktion steigen die variablen Kosten im gleichen Verhältnis zur produzierten Menge an. Die Durchschnittskosten sinken entsprechend, weil die Fixkosten auf eine immer größere Menge verteilt werden.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht diesen Fixkosten.

1.3 Ermitteln sie in einem nachvollziehbaren Lösungsweg die Funktionsgleichungen der Erlösfunktion und der Gewinnfunktion

Erlösfunktion E(x) = x · p(x)

Gewinnfunktion = E(x) - K(x)

1.4 Bestimmen Sie nun ebenfalls den Erlös und den Gewinn bei einer Produktion von 4 Maschinen

Setze 4 für x in die entsprechenden Funktionen ein.

1.5 Ermitteln Sie die Nullstellen der Erlösfunktion rechnerisch

Setzte E(x) = 0 und löse nach x auf.

1.6 Beschreiben Sie kurz einen Lösungsweg zur Berechnung des maximalen Erlöses. Ermitteln Sie dann die erlösmaximale Produktionsmenge und den maximalen Erlös.

Wenn ihr noch keine Ableitungen hattet, kannst du den Scheitelpunkt der Parabel z.B. mit der Scheitelpunktform bestimmen. Die x-Koordinate entspricht der erlösmaximalen Produktionsmenge, die y-Koordinate dem maximalen Erlös.

Gruß, Silvia

Comments

Ehm, bei 1.2 wird nach der Kostenfunktion gefragt, lg.

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Ups, danke für den Hinweis!

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volontiers, Madame

Answer 4

1.3 Ermitteln Sie in einem nachvollziehbaren Lösungsweg die Funktionsgleichungen der Erlösfunktion und der Gewinnfunktion

E(x) = p(x)·x = 40000·x - 4000·x^2
G(x) = E(x) - K(x) = - 4000·x^2 + 36000·x - 32000

Wenn du bei anderen Aufgaben noch gezielt Hilfe benötigst wäre es gut zu wissen, was du genau nicht verstehst.

Answer 5

Hallo, bis zur Aufgabe 1.7 wurde die Frage schon einmal hier beantwortet. Wenn du damit durch bist und den Rest nicht schaffst, kannst du dich gerne nochmal melden.

Comments

Hallo,

danke für die Antwort.

Leider kommt bei den Link keine Lösung zu den Aufgaben.

Könnten Sie mir bei den anderen Aufgaben behilflich sein?

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Dort sind aber doch Lösungsansätze, zum Beispiel

1.1 Ermitteln Sie die Kosten und den Preis bei einer Produktion von 4 Stück, den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

Setze 4 für x in die Kosten bzw. die Preisfunktion ein. Der Höchstpreis ist der Schnittpunkt der Preis-Absatz-Funktion mit der y-Achse, die Sättigungsmenge entspricht der Nullstelle.

K(4) = Kosten

p(4) = Preis

Schnittpunkt von p mit der y-Achse kannst du ablesen, die Nullstelle von p sicherlich auch bestimmen.

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Ich konnte es jetzt öffnen Danke. Ich habe es gerade versucht zu lösen habe aber trotzdem paar Lücken und weiß nicht ob es richtig ist. Könnte ich vielleicht etwas bekommen, damit ich vergleichen kann

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Du kannst gerne deine Lösungen einstellen und dann vergleichen wir.

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"Ist das so richtig? Stimmen die Lösungswege überein brauche das gelöst sonst komme ich nicht weiter im Unterricht:/ Will es schnellstmöglich verstehen.

Text erkannt:

\( P(9) 4000 \cdot 9+40000=76.000 \)
\( 1.9 \)
\( \begin{array}{l} g(9)=0 ? \\ 4000 \cdot 18+40000 \\ -68000 \end{array} \)
1. 10
\( \begin{array}{c} G(x)=E(x)-K(x) \\ =p(+) \cdot x-K(x) \\ p q \text {-Formed? } \end{array} \)

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1.8 Beurteilen Sie die Gewinnsituation, wenn der Monopolist 9 Maschinen anbietet.

Also G(9) = -32.000. Das bedeutet entsprechenden Verlust.

1.9 Bestimmen Sie die Ausbringungsmengen, wenn der Monopolist einen Gewinn von
40.000,00 € erzielen will.

G(x) = 40.000

\(-4000x^2+36000x-32000=40000\\ -4000x^2+36000x-72000=0\\ x^2-9x+18=0\\ x_{1,2}=4,5\pm\sqrt{20,25-18}\\ x_{1,2}=4,5\pm1,5\\ x_1=3\quad x_2=6\)

1.10 Ermitteln Sie die Gewinnschwelle und Gewinngrenze rechnerisch.

Das sind Nullstellen der Gewinnfunktion:

\(-4000x^2+36000x-32000=0\\ x^2-9x+8=0\\ x_{1,2}=4,5\pm\sqrt{20,25-8}\\ x_{1,2}=4,5\pm3,5\\ x_1=1\quad x_2=8\)

Gewinnschwelle bei x = 1, Gewinngrenze bei x = 8

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Vielen Dank ! :)
Sie haben die Aufgabe 1.9 und 1.10 doch mit der pq-Formel berechnet oder? Mancher meiner Klassenkameraden machen es nämlich so.

Ich habe noch versucht die 1.11 , .12, .13 und 14 zu berechnen. Bei 1.11 Konnte ich das Gewinnmaximum und gewinnmaximale Ausbringungsmenge nicht

Text erkannt:

\( G(x)=-4000 x^{2}+36000 x-32000 \)
\( \Rightarrow-8000 x+36000 \)
2.Schi.'t \( G^{\prime}(x)=0 \)
\( -4000 x^{2}+36000 x-32000=0 \mid \div(\pi 4000) \)
\( x^{2}-9 x-8 \)
\( x_{1 / 2}=-\left(\frac{-9 x}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^{2}+8} \)
\( \approx=9.815 \)
de Gewinmaximum?
Gewinnmaximale Ausbringungsmenge?
\( 1.12 \) wie genan?
1. 13
\( \begin{array}{l} G(x)=E(x)-K(x) \\ \quad=P(x) \cdot x-K(x) \\ =\left(-4000 x^{4}+40000\right) \cdot x-(4000 x+32000 \\ =-4000 x^{2}+40000 x-4000 x^{2}+32000 \end{array} \)
\( 1.14 \)
Neve Hostenfum2tion angeben
a) Wie?
b)

berechnen. Könnte man vielleicht weiterhelfen?

Bei 1.13 und den Zeichnungen bin ich mir auch nicht so Sicher.

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Ja, ich habe die pq-Formel angewendet.

Scheitelform der Gewinnfunktion:

Du hast geschrieben G'(x) = 0, was richtig ist, wenn du den Hochpunkt der Parabel ermitteln möchtest, dann musst du aber auch zunächst die 1. Ableitung bilden. Du hast G(x) = 0 gerechnet.

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten (4,5|49.000), mit gewinnenmaximaler Ausbringungsmenge = 4,5 und Gewinnmaximum bei 49.000.

Du solltest jedoch die Scheitelform der Gewinnfunktion aufstellen. Das macht man zum Beispiel mit der Quadratischen Ergänzung. Sagt dir das was?

1.12 Zeichnung mit Geogebra erstellt

gewinnmaximaler Absatzpreis:

P(4,5) = 162.000

1.14

a) Der Preis für Schnellstahl, einem wichtigen Rohstoff für die Produktion der Werkzeugmaschinen, steigt. Dadurch erhöhen sich die variablen Kosten für die Maschinen um 1/4.

variable Kosten: \(K_{var}(x)=4000x\)

Erhöhung um ein Viertel: \(K_{var}(x)=5000x\)

b) Die Miete für eine Lagerhalle erhöht sich um 1.000 GE. = Fixkosten

\(K(x)=4.000x+33.000\)

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Könnten Sie bitte zu 1.11 noch Lösungsweg dazu schicken?

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Der sieht so aus:

\(G(x)=-4.000x^2+36.000x-32.000\\ =-4.000(x^2-9x+8)\\ =-4.000((x-4,5)^2-20,25+8)\\ =-4.000((x-4,5)^2-12,25)\\ =-4.000(x-4,5)^2+49.000\)