Kann man Differenzierbarkeit mit der Richtungsableitung zeigen bzw widerlegen

Question

Aufgabe:

Wie zeigt man, dass f in (0,0,0) nicht differenzierbar ist. Geht das mit Richtungsableitung?

Problem/Ansatz:

Gegeben sei eine stetige Funktion f: R^3 -> R, def. durch

(xz^2)/(x^2+y^2+z^2) für (x,y,z) Element R^3 ohne (0,0,0)

und in (0,0,0) ist f(x,y,z) =0.

Ich habe in der Teilaufgabe vorher gezeigt, dass die Richtungsableitung Dvf(0,0,0) existiert fur jedes v Element R^3 mit ||v||=1 und zwar durch v1v3^2.

Wie kann ich jetzt die Differenzierbar in (0,0,0) widerlegen?

Geht das mit diesem Ansatz:

Angenommen , f wäre differenzierbar in (0,0,0).

Dann gälte Dvf(0,0,0) = Skalarprpdukt von v mit dem gradienten von f in (0,0,0) (der gegeben ist durch De1f(0,0,0), De2f(0,0,0), De3f(0,0,0)

v1v3^2.= (0,0,0)^T * v

v1v3^2=0

Widerspruch, da für v Element R^3 mit ||v||=1 die Gleichung gilt,

aber zum Beispiel für v1= 0,5 v3= wurzel(0,75) zwar ||v|| = 1 gilt,

aber v1v3^2 != 0.

Kann man das so widerlegen oder wann geht das?

Sonst kann man es ja auch mit der defintion

1/||h|| (f(h)-f(0)-ableitung*h) probieren, aber da hab ich nicht ganz verstanden, wofür die striche || || stehen.

Ich möchte mich für den langen Roman entschuldigen, aber vielleicht kann mir jemand helfen, da ich bald Klausur habe

Answer 1

Hallo,

Deine Überlegung ist richtig.

Was die Striche angeht: Entweder sie bedeuten allgemein eine Norm, wenn Ihr das so allgemein besprochen habt. Wenn nicht, dann stehen die Striche einfach nur für die Euklidische Länge des Vektors h. Du hast sie doch selbst in Deiner Erklärung benutzt!

Du kannst die Eigenschaft der Definition hier (!) auch analog zu den Überlegungen mit der Richtungsableitung widerlegen: Verwende einfach in der Definition den Vektor h=tv und lass t gegen 0 gehen....

Noch der Hinweis: Auf Deinem Weg kann man die Differenzierbarkeit nur widerlegen. Für einen Beweis muss man auf die Definition zurückgreifen oder einen geeigneten Satz.

Gruß Mathhilf