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Text erkannt: Kann mir jemand den Rechenweg für (i) und (ii) lösen? Danke im Voraus

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\sin \left(x_{1}+x_{3}\right) \log \left(1+x_{2}^{2}\right) \)
Zudem seien für ein festes \( \alpha \in(0,2 \pi) \) die folgenden drei Vektoren gegeben:
\( v_{1}:=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad v_{2}:=\left[\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ 0 \\ \sin (\alpha) \end{array}\right], \quad v_{3}:=\frac{1}{\sqrt{2 e^{2}+\pi^{2}}}\left[\begin{array}{c} e \\ \pi \\ -e \end{array}\right] \)
(i) Zeigen Sie, dass \( f \) eine \( C^{1} \)-Funktion ist.
(ii) Bestimmen Sie für \( i=1,2,3 \) die Richtungsableitungen von \( f \) in Richtung \( v_{i} \) an beliebiger Stelle \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \).

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Aloha :)

(i) Wenn eine Funktion Mitglied im \(C^1\)-Club ist, heißt das ja, dass alle ihre partiellen Ableitungen existieren und stetig sind. Die partiellen Ableitungen können wir bilden:$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=\underbrace{\cos(x_1+x_3)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{1}_{\text{innere Abl.}}\cdot\underbrace{\log(1+x_2^2)}_{\text{const}}=\cos(x_1+x_2)\log(1+x_2^2)$$$$\frac{\partial f}{\partial x_2}=\underbrace{\sin(x_1+x_3)}_{\text{const.}}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+x_2^2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x_2}_{\text{innere Abl.}}=\sin(x_1+x_2)\frac{2x_2}{1+x_2^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial x_3}=\underbrace{\cos(x_1+x_3)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{1}_{\text{innere Abl.}}\cdot\underbrace{\log(1+x_2^2)}_{\text{const}}=\cos(x_1+x_2)\log(1+x_2^2)$$Alle Ableitungen sind für alle \(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\) stetig, weil die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig ist und alle Funktionen definiert sind.

(ii) Hier brauchst du gar nicht mehr viel zu tun. Die angegebenen Vektoren sind alle auf die Länge \(1\) normiert, sind also Richtungsvektoren. Die Richtungsableitung bekommst du, indem du den Gradienten mit den Richtungsvektoren multiplizierst. Dabei hilft sehr, dass \(\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_3}\) ist:

$$D_1(x_1;x_2;x_3)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial x_2}=\sin(x_1+x_2)\frac{2x_2}{1+x_2^2}$$

$$D_2(x_1;x_2;x_3)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\alpha\\0\\\sin\alpha\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial x_3}\sin\alpha=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)$$$$\phantom{D_2(x_1;x_2;x_3)}=\cos(x_1+x_2)\log(1+x_2^2)\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)$$

$$D_3(x_1;x_2;x_3)=\frac{1}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e\\\pi\\-e\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot e+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot\pi-\frac{\partial f}{\partial x_3}\cdot e\right)$$$$\phantom{D_3(x_1;x_2;x_3)}=\frac{\pi}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\cdot\frac{\partial f}{\partial x_2}=\frac{\pi}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\sin(x_1+x_2)\frac{2x_2}{1+x_2^2}$$

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Du bist einfach der beste ❤️❤️❤️❤️❤️

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f ist auf ganz R^3 definiert (Argument von log immer ≥ 1 ) und nach den gängigen Sätzen ( Summe , Produkt, Verkettung ) eine C1-Funktion.

Für i=1 geht es um die partielle Ableitung in x2-Richtung.

fx2 (x1,x2,x3) = 2 x2 sin( x1 + x3) /   (x22+1)

Für die anderen nimm das Skalarprodukt der Vektoren mit dem Gradienten.

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Wäre es möglich den Rechenweg von Aufgabe (i) und (ii) zu lösen um alles nachzuvollziehen?


Ich bin in Mathe nicht so stark :D

wäre es möglich den Rechenweg zu schicken :)

ich bräuchte die Lösung sehr dringend :( ich stehe am schlauch

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