Aloha :)
(i) Wenn eine Funktion Mitglied im \(C^1\)-Club ist, heißt das ja, dass alle ihre partiellen Ableitungen existieren und stetig sind. Die partiellen Ableitungen können wir bilden:$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=\underbrace{\cos(x_1+x_3)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{1}_{\text{innere Abl.}}\cdot\underbrace{\log(1+x_2^2)}_{\text{const}}=\cos(x_1+x_2)\log(1+x_2^2)$$$$\frac{\partial f}{\partial x_2}=\underbrace{\sin(x_1+x_3)}_{\text{const.}}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+x_2^2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x_2}_{\text{innere Abl.}}=\sin(x_1+x_2)\frac{2x_2}{1+x_2^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial x_3}=\underbrace{\cos(x_1+x_3)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{1}_{\text{innere Abl.}}\cdot\underbrace{\log(1+x_2^2)}_{\text{const}}=\cos(x_1+x_2)\log(1+x_2^2)$$Alle Ableitungen sind für alle \(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\) stetig, weil die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig ist und alle Funktionen definiert sind.
(ii) Hier brauchst du gar nicht mehr viel zu tun. Die angegebenen Vektoren sind alle auf die Länge \(1\) normiert, sind also Richtungsvektoren. Die Richtungsableitung bekommst du, indem du den Gradienten mit den Richtungsvektoren multiplizierst. Dabei hilft sehr, dass \(\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_3}\) ist:
$$D_1(x_1;x_2;x_3)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial x_2}=\sin(x_1+x_2)\frac{2x_2}{1+x_2^2}$$
$$D_2(x_1;x_2;x_3)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\alpha\\0\\\sin\alpha\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial x_3}\sin\alpha=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)$$$$\phantom{D_2(x_1;x_2;x_3)}=\cos(x_1+x_2)\log(1+x_2^2)\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)$$
$$D_3(x_1;x_2;x_3)=\frac{1}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e\\\pi\\-e\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot e+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot\pi-\frac{\partial f}{\partial x_3}\cdot e\right)$$$$\phantom{D_3(x_1;x_2;x_3)}=\frac{\pi}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\cdot\frac{\partial f}{\partial x_2}=\frac{\pi}{\sqrt{2e^2+\pi^2}}\sin(x_1+x_2)\frac{2x_2}{1+x_2^2}$$
