Differenzierbarkeit einer "allgemeinen" Funktion in einem Punkt zeigen.

Question

Aufgabe:

Differenzierbarkeit einer allgemeinen Funktion in (0,0) zeigen.

Problem/Ansatz:

Sei g:[0, unendlich) -> eine Funktion und es existiert lim(t->0) g(t)=a.

Weiter sei f(x,y) = x*g(\( \sqrt{x^2 + y^2 } \)) für (x,y) Element R^2.

Ich wolte fragen, da ich keine Angaben über f also weder weiß ob sie differenzierbar oder partiell differenzierbar ist, immer die Definition anwenden muss und nicht bspw. die Rechenregeln wie z.B. die Kettenregel für die Ableitung bzw partielle Ableitung  anwenden kann.

Außerdem wollte ich fragen, warum man lim(t ->0) g(t) definiert, obwohl g auch für 0 definiert. Unterscheidet sich das von g(0)?

Answer 1

warum man lim(t ->0) g(t) definiert, obwohl g auch für 0 definiert.

Sei \(g:[0,\infty)\to \mathbb{R}\) mit

        \(g(t) = \begin{cases}\frac{1}{t}&\text{falls } t\neq 0\\0&\text{falls } t=0\text{.}\end{cases}\)

Dann ist ebenfalls \(g\) auch für \(0\) definiert, aber \(\lim\limits_{t\searrow 0}g(t)\) existiert nicht.

Der Autor der Aufgabe wollte solche Fälle ausschließen.

die Rechenregeln wie z.B. die Kettenregel für die Ableitung

Die Rechenregeln haben Voraussetzungen. Die Produktregel sagt zum Beispiel etwas über f'(x) aus, wenn g und h differenzierbar sind und f(x) = g(x) · h(x) ist. Bevor du eine Regel anwendest, musst du die Voraussetzungen kennen, unter denen du sie anwenden darfst.