Partielle Integration von unbestimmten Integralen

Question

Aufgabe:

Hallöchen,

Es soll das unbestimmte Integral bestimmt werden und zwar von Folgendem:

e^x*sin²x

Habe es gelöst ( Siehe Anhang ). Es scheint aber falsch zu sein und finde den Fehler nicht. Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Lg

Problem/Ansatz:

Nach 2. Mal integrieren ergab sich:

e^x * sin²x - 2 * e^x * sinx * cosx - INTEGRAL ( e^x * ( cos²x - sin²x ) dx )

Diese letzte Integral habe ich nun wie folgt umgeschrieben:

INTEGRAL ( e^x * cos²x ) dx - INTEGRAL ( e^x * sin²x ) = INTEGRAL ( e^x - e^x * sin²x ) - INTEGRAL ( e^x *sin²x ).

Hier kommt das INTEGRAL aus e^x * sin²x Zwei Mal vor aber mit einem Minuszeichen. Dieses ist ja das gesuchte Integral, also habe ich es auf die linke Seite gebracht. In dieser Rechnung blieb nur INTEGRAL (e^x) zu lösen.

Text erkannt:

\( \int d x\left(e^{x}\right)^{\prime} \sin ^{2} x=e^{x} \sin ^{2} x-2\left(\int e^{x} \sin x \cos x\right) \)
\( \left.\int\left(e^{x}\right) \sin x \cos x=e^{x} \sin x \cos x-e^{x} \cos ^{2} x\right)-\operatorname{ex}^{2} \sin ^{2} x \)
\( 3 \int d x\left(e^{x}\right)^{1} \sin ^{2} x=e^{x} \sin ^{2} x-2\left(e^{x} \operatorname{in} x \cos x-\int \limits_{1}^{\cos x}\right) \)
\( \Rightarrow \frac{1}{3} b^{x}\left(\sin ^{2} x-2 \sin x \cos x-2\right)=\iint^{x} e^{x}-\cos ^{2} d x \)

Comments

Hallo

zumindest ich habe Schwierigkeiten deine Rechnung zu lesen nach den ersten 3 Zeilen

lul

---

Text erkannt:

\( \int d x\left(e^{x}\right)^{\prime} \sin ^{2} x=e^{x} \sin ^{2} x-2 \tan e^{x} \sin x \cos x \)
\( \int d x\left(e^{x}\right)^{2} \sin x \cos x \)
\( =e^{x} \sin x \cos x-\int e^{x}-\int e^{x} \min ^{2} x-\int^{x} \cos ^{2} x \)
\( \Rightarrow \int d x\left(e^{x}\right)^{\prime} \sin ^{2} x=e^{x} \sin ^{2} x-2\left(e^{x} \sin x \cos x-e^{x}-2 \int e^{x} \sin ^{2} x\right) \)
\( =e^{x} \sin ^{2} x-2 e^{x} \sin x \cos x-2 e^{x}-4 \int e^{x} \sin ^{2} x \)

Answer 1

Aloha :)

Schreibst du immer mit Boxhandschuhen? Das kann man ja kaum lesen ;)

$$I=\int e^x\,\sin^2x\,dx=\int e^x\left(\frac12-\frac12\cos(2x)\right)dx=\frac{e^x}{2}-\frac12\,\underbrace{\int e^x\cos(2x)\,dx}_{\eqqcolon J}$$

Das verbliebene Integral erhalten wir so:$$J=\int \underbrace{e^x}_{=u'}\,\underbrace{\cos(2x)}_{=v}\,dx=\underbrace{e^x}_{=u}\,\underbrace{\cos(2x)}_{=v}-\int \underbrace{e^x}_{=u}\,\underbrace{(-2\sin(2x))}_{=v'}\,dx$$$$\phantom J=e^x\cos(2x)+2\int \underbrace{e^x}_{=f'}\,\underbrace{\sin(2x)}_{=g}\,dx$$$$\phantom J=e^x\cos(2x)+2\left(\underbrace{e^x}_{=f}\,\underbrace{\sin(2x)}_{=g}-\int \underbrace{e^x}_{=f}\,\underbrace{2\cos(2x)}_{=g'}\,dx\right)$$$$\phantom J=e^x\cos(2x)+2e^x\sin(2x)-4\underbrace{\int e^x\cos(2x)\,dx}_{=J}$$Damit haben wir gefunden:$$5J=e^x\cos(2x)+2e^x\sin(2x)\quad\implies\quad J=\frac15e^x\cos(2x)+\frac25e^x\sin(2x)$$

und können nun die gesuchten Stammfunktionen anzugeben:$$I=\frac{e^x}{2}-\frac{1}{10}e^x\cos(2x)-\frac15e^x\sin(2x)+\text{const}$$$$I=\frac{e^x}{10}\left(5-\cos(2x)-2\sin(2x)\right)+\text{const}$$