Stetigkeit überprüfen mit cos und rationale Funktion

Question

Aufgabe:

a) Untersuchen Sie die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \),
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \cos (\pi x)+3 & \text { für } x<1, \\ \frac{x^{2}+1}{x+1} & \text { für } x \geq 1, \end{array}\right. \)
auf Stetigkeit, d.h. untersuchen Sie in welchen Punkten \( f \) stetig und in welchen Punkten sie unstetig sind.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemanden erklären, wie ich hier die Stetigkeit überprüfen kann?

Answer 1

Benutze am besten zunächst einen Online Funktionsplotter und versuche die entstandenen Kurven zu interpretieren.

Wahrscheinlich sind Polstellen vorhanden.

Comments

Wahrscheinlich sind Polstellen vorhanden.

Das sollte mich wundern ;-)

Eine Funktion \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)

kann keine Polstellen besitzen.

Answer 2

Aloha :)

Polynome sind stetig. Summe, Differenz, Produkte und Hintereinanderausführung stetiger Funktionen sind stetig. Bei der Stetigkeit eines Quotienten stetiger Funktionen muss man beachten, dass die Nenner-Funktion eventuell Null werden kann.

1. Fall: \(x<1\)

Die \(\cos\)-Funktion ist stetig über ihrem gesamten Definitionsbereich, wenn wir dazu eine Konstante addieren, bleibt das Resultat eine stetige Funktion. Für \(x<1\) ist die Funktion daher stetig.

2. Fall: \(x>1\)

Das Zählerpolynom \((x^2+1)\) ist stetig. Das Nennerpolynom \((x+1)\) ist ebenfalls stetig und ungleich Null. Daher ist auch der Quotient stetig. Für \(x>1\) ist die Funktion daher stetig.

3. Fall: \(x=1\)

Das ist der kritische Fall. Damit die Funktion bei \(x=1\) stetig ist, muss der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert sein. Wir prüfen das nach:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}\left(\;\cos(\pi x)+3\;\right)=\cos(\pi)+3=-1+3=2$$$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}\left(\;\frac{x^2+1}{x+1}\;\right)=\frac{1^2+1}{1+1}=\frac22=1$$

Bei \(x=1\) ist die Funktion daher unstetig.

~plot~ (cos(pi*x)+3)*(x<1) ; (x^2+1)/(x+1)*(x>=1) ; {1|2} ; {1|1} ; [[-3|3|0|4]] ~plot~