Aloha :)
Polynome sind stetig. Summe, Differenz, Produkte und Hintereinanderausführung stetiger Funktionen sind stetig. Bei der Stetigkeit eines Quotienten stetiger Funktionen muss man beachten, dass die Nenner-Funktion eventuell Null werden kann.
1. Fall: \(x<1\)
Die \(\cos\)-Funktion ist stetig über ihrem gesamten Definitionsbereich, wenn wir dazu eine Konstante addieren, bleibt das Resultat eine stetige Funktion. Für \(x<1\) ist die Funktion daher stetig.
2. Fall: \(x>1\)
Das Zählerpolynom \((x^2+1)\) ist stetig. Das Nennerpolynom \((x+1)\) ist ebenfalls stetig und ungleich Null. Daher ist auch der Quotient stetig. Für \(x>1\) ist die Funktion daher stetig.
3. Fall: \(x=1\)
Das ist der kritische Fall. Damit die Funktion bei \(x=1\) stetig ist, muss der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert sein. Wir prüfen das nach:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}\left(\;\cos(\pi x)+3\;\right)=\cos(\pi)+3=-1+3=2$$$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}\left(\;\frac{x^2+1}{x+1}\;\right)=\frac{1^2+1}{1+1}=\frac22=1$$
Bei \(x=1\) ist die Funktion daher unstetig.
~plot~ (cos(pi*x)+3)*(x<1) ; (x^2+1)/(x+1)*(x>=1) ; {1|2} ; {1|1} ; [[-3|3|0|4]] ~plot~
