Kann man das nicht genauer ausrechnen und warum ist das so?

Question

Aufgabe:

Grenzwertuntersuchung mit sinus betrag

Problem/Ansatz

betrachte grenzwert x^2/|sin(x)| für x->0.

Allerdings kriege ich das nicht hin

In den Lösungen steht

nach L'Hospital exisitert das und ist beschränkt durch eine Konstante C>0 mit C*(xk)k

Kann man das nicht genauer ausrechnen und warum ist das so?

Answer 1

Ich betrachte nur mal den rechtsseitigen Grenzwert

lim (x → 0+) x^2 / sin(x)

lim (x → 0+) 2·x / cos(x) = 0

Damit lässt es sich meiner Meinung nach ausrechnen. Was soll denn das k in der Lösung sein? Könntest du mal die vollständige Aufgabe und Lösung velleicht als Foto zur Verfügung stellen. Vielleicht kann ich dann mehr dazu sagen.

Answer 2

Mal ohne L'Hospital:$$\lim_{x\to 0-}\frac {x^2}{|\sin(x)|}=\lim_{x\to 0-}x\cdot (-\frac{x}{\sin(x)})=\lim_{x\to 0} x\cdot (-\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)})=0\cdot(-1)=0\\\lim_{x\to 0+}\frac{x^2}{|\sin(x)|}=\lim_{x\to 0+}x\cdot \frac{x}{\sin(x)}=\lim_{x\to 0} x\cdot \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1 = 0.$$Hierbei habe ich das häufig schon aus der Schule bekannte

\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\) verwendet.

Comments

Hierbei habe ich das häufig schon aus der Schule bekannte

Lange ist es her. Dieses für dich und mich selbstverständliche Detail ist seit Jahrzehnten aus den Mathematiklehrbüchern für Schüler verbannt.

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Ich nehme an, in D.

Wieso wurde es verbannt?

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Man nahm an, anderes wäre wichtiger.
Irgendwie musste Platz geschaffen werden für Statistik, die Stundenzahl wurde zugunsten diverser Laberfächer gekürzt, dann mussten Aufgaben platziert werden, deren einziger Sinn darin bestand, der "neuen" Taschenrechnermathematik Daseinsberechtigung zu geben....

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Leider hat abakus wohl Recht. Im Mathematikunterricht geht
es wohl auch nicht mehr so sehr darum, mathematisch
denken zu lernen, stattdessen muss ales irgendwie einen
sogenannten Anwendungsbezug haben, der
dann in Aufgaben künstlich suggeriert wird, an denen
massenhaft Schüler scheitern, die allein 100 Jahre
benötigen, um die Aufgabenstellung zu verstehen.
Ich gehöre leider auch zu diesen Loosern, was mich aber
nicht daran gehindert hat, in Mathe zu promovieren.