Grenzwert von zwei Funktionen (Grenzwertlemma)

Question

Aufgabe:

Beweisen sie, dass der Grenzwert $$  \lim\limits_{n\to\infty}\frac{5*\sqrt{n}+n^{4}}{2^{(log(n))^{3}}} $$ 0 ist

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass der Grenzwert 0 sein muss, da eine Exponentialfunktion immer schneller wächst als eine Polynomfunktion. Ich weiß jedoch nicht, wie ich dies formal beweisen kann.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Berechnung des Grenzwertes verwenden wir \(n=e^{\ln(n)}\). Wir setzen \(x\coloneqq\ln(n)\) und nutzen aus, dass mit \(n\to\infty\) auch \(\ln(n)\to\infty\) bzw. \(x\to\infty\) geht:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5\sqrt n+n^4}{2^{(\log(n))^3}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5\sqrt{e^x}+(e^x)^4}{2^{(\log(e^x))^3}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5e^{\frac x2}+e^{4x}}{2^{x^3}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5e^{\frac x2}+e^{4x}}{e^{x^3\log(2)}}$$$$\phantom{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5\sqrt n+n^4}{2^{(\log(n))^3}}}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(5e^{\frac x2-x^3\log(2)}+e^{4x-x^3\log(2)}\right)=0+0=0$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort :)