Untersuche a*b:= (a+b-2) mod 4 mit a,b Element von M auf Gruppeneigenschaften.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Menge M={0,1,2,3}

Untersuche a*b:= (a+b-2) mod 4 mit a,b Element von M auf Gruppeneigenschaften.

Problem/Ansatz:

Mir sind die Axiome für eine Gruppe soweit bekannt. Ich weiß jedoch nicht, wie ich zum Beispiel das Axiom
"(G1) *:GxG -> G ordnet jedem Paar(a,b) ein Element a*b Element von G" zeige.
Oder wie ich hierbei die Assoziativität zeigen würde.

Kann mir jemand hierbei helfen? Ruhig mit Beispiel.

* steht für Verknüpfung

Danke im Voraus

Answer 1

Zur Assoziativität:

Es gilt allgemein (\(x\) mod \(4\))+(\(y\) mod \(4\)) = \((x+y)\) mod \(4\); denn so
ist die Addition von Restklassen (oder Resten) definiert.

Wegen \(4\) mod \(4\) = \(0\) hat man dann

\(a*(b*c)=a*(b+c-2\) mod \(4)\)

\(=a+(b+c-2)-2\) mod \(4\) \(=a+(b+c)-4\) mod \(4=a+(b+c)\) mod \(4\).

Entsprechend ist \((a*b)*c=(a+b)+c\) mod \(4\). Wegen der Assoziativität

der "üblichen" Addition ist dies dasselbe.

Answer 2

wie ich zum Beispiel das Axiom
"(G1) *:GxG -> G ordnet jedem Paar(a,b) ein Element a*b Element von G" zeige.

0*0 = (0+0-2) mod 4 = 2 ∈ M

0*1 = (0+1-2) mod 4 = 3 ∈ M

0*2 = (0+2-2) mod 4 = 0 ∈ M

0*3 = (0+3-2) mod 4 = 1 ∈ M

1*0 = (1+0-2) mod 4 = 3 ∈ M

1*1 = (1+1-2) mod 4 = 0 ∈ M

1*2 = (1+2-2) mod 4 = 1 ∈ M

1*3 = (1+3-2) mod 4 = 2 ∈ M

...

Oder wie ich hierbei die Assoziativität zeigen würde.

(0*0)*0 = (((0+0-2) mod 4) + 0 - 2) mod 4 = 0

0*(0*0) = (0 + ((0+0-2) mod 4) - 2) mod 4 = 0

...

Comments

Vielen dank erstmal für die Mühe.
Genau so habe ich das auch gedacht, aber wir würde ich das denn Allgemein aufschreiben zu G1?

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Woran wird das wohl liegen, dass man bei jeder der Rechnungen eine der Zahlen 0,1,2,3 als Ergebnis bekommt?