Defekt einer linearen Abbildung

Question

Hallo Leute,

Vorab möchte ich sagen, dass ich weiß, wie man den Defekt bei einer Matrix bestimmt. Man benutzt hierzu entweder den Dimensionssatz oder man bestimmt die Lösung des homogen Gleichungssystem und bildet davon die Basen. Die Anzahl der Basen entsprechen dann den Defekt.

Ich habe jetzt aber folgende Gleichung:

$$f(a,b)=a+\sqrt{3}b$$

Ich habe schon bewiesen, dass die Abbildung linear ist. Nun soll ich davon den Defekt bestimmen. Ich weiß, aber leider nicht wie. Ist mir peinlich ...

Comments

Ist \(f:\; \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\) gemeint ?

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Das ist das einzige, was dazu stand:

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OK. Dann ist das eine schlampige Aufgabenstellung.
Ich gehe aber davon aus, dass \(\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\)
gemeint ist.

Answer 1

Trotz der schlampigen Aufgabenstellung
gehe ich davon aus, dass \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\)
als \(\mathbb{R}\)-lineare Abbildung gemeint ist.

Dann gilt für den Defekt \(\operatorname{defekt}(f)\)

\(0\leq \operatorname{defekt}(f) \leq 2\); denn es handelt sich um die Dimension

von \(\ker(f)\subseteq \mathbb{R}^2\). Der Kern von \(f\) besteht nicht nur aus dem Nullvektor;

denn \(f(\sqrt{3},-1)=0\). Der Kern von \(f\) ist aber auch nicht der ganze

Raum \(\mathbb{R}^2\); denn sonst wäre \(f\) die Nullabblildung,

also \(\operatorname{defekt}(f)=1\).

Answer 2

Bestimme eine Matrix \(A\), so dass \(f(a,b) = A\cdot \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) ist.

Bestimme den Defekt von \(A\).

Comments

Ist das die Matrix:

$$\begin{pmatrix} 1 & √3 \end{pmatrix}$$

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Ja, das ist die Matrix.