Defekt folgender Matrix bestimmen

Question

Sei V ein Vektorraum über dem Körper Z_5, und sei {b1, b2, b3} eine
Basis von V . Sei weiters f ∈ L(V, Z^3
_5) so, daß

f (b1) =(0,1, 2)^T

f (b2) =( 0,3,1)^T
f (b3) = f (b1) − f (b2) .

Wieso ist hier der Defekt, also die Dimension vom Kern nicht 1 gleich. Diese Matrix null setzen und berechnen ergibt nur einen Spaltenvektor, sprich dim ker(f)= 1

Answer 1

Das Bild wird erzeugt von

\(  \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}\),\(  \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix}\),\(  \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix}\)

Nun ist aber in Z₅ ja -2=3 , also sind der 2. und 3. Erzeugende gleich. somit

wird es auch von erzeugt von

\(  \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}\),\(  \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix}\)

Nun ist in Z₅ auch 1*3=3 und 2*3=1 , also ist der

dritte das 3-fache des zweiten. Somit dim(Bild)=1

==> Defekt = 2.

Oder über Berechnung des Kerns mit der Matrix

\(  \begin{pmatrix} 0&0&0\\1&3&-2\\2&1&1 \end{pmatrix}\)

Dann 3. Zeile minus 2*2.Zeile gibt

\(  \begin{pmatrix} 0&0&0\\1&3&-2\\0&0&0 \end{pmatrix}\)

Also dim(kern)=2.

Comments

Wir befinden uns JA im Z_5, stimmt. Hab ich komplett übersehen. Danke