Defekt einer Matrix berechnen

Question

Aufgabe:

Ich habe die Matrix mit:

1  -2  0  2  -1

2   1  5  4   3

0   1  1  0   2

0   1  1  0   1

Jetzt soll ich die Dimension des Kerns bestimmen...

Problem/Ansatz:

Den Rang der Matrix habe ich bereits mit 3 bestimmt. Da alle Spaltenvektoren (die auch angegeben sind) aus dem R4 stammen, habe ich die Dimensionsformel angewendet: 4-3=1. So müsste der Defekt meiner Meinung nach bei 1 liegen. Die Lösung rechnet mir aber 5-3=2 vor mit Defekt also 2.

Answer 1

Die lineare Abbildung \(f_A\) geht von \(V:=\mathbb{R}^5\) aus.
Der Kern liegt in \(V\).
Die Dimensionsformel liefert:

\(\dim(\ker(f_A))+Rg(A)=\dim(V)=5\).

Ursprünglich hatte man 5 €. Nach der Abbildung waren
es nur noch 3 € (Rang). Also hat man wohl 2 € verloren.
Verlust = Defekt.