Bestimme rechnerisch eine ganzrationale Funktion f vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuftund …

Question

Aufgabe:

Bestimme rechnerisch eine ganzrationale Funktion f vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuftund für die gilt:Im Ursprung hat der Graph eine waagerechte Tangente, an der Stelle x = 1 hat er einen Tiefpunkt, der auf der Geraden mit der Gleichung y = –x liegt

Problem/Ansatz:

Bedingungen:

f'(0)=0

f(0)=0

f'(1)=0

f'(-1)=0

f(1)=-1

Sind die Bedingungen richtig? Und wie mache ich weiter?

Danke für die Antworten!

Answer 1

Hallo,

deine Bedingungen sind richtig. Da die Funktion achsensymmetrischt ist, fallen die ungeraden Exponenten weg.

\(f(x)=ax^4+bx^2+e\\ f'(x)=4ax^3+2bx\)

\(f(0)=0\Rightarrow e = 0 \\ f(1)=-1\Rightarrow a+c=-1\\ f'(1)=0\Rightarrow 4a+2c=0\)

Löse dieses Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl.

Gruß, Silvia

Answer 2

Bestimme rechnerisch eine ganzrationale Funktion f vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft und für die gilt: Im Ursprung hat der Graph eine waagerechte Tangente, an der Stelle x = 1 hat er einen Tiefpunkt, der auf der Geraden mit der Gleichung y = –x liegt.

Symmetrie zur y-Achse bedeutet:

\(f(x)=a*x^4+b*x^2+c\)

Graph geht durch den Ursprung:

\(f(0)=c\)       \(c=0\)

Hat dort eine waagerechte Tangente:

\(f´(x)=4a*x^3+2b*x\)

\(f´(0)=0\)

an der Stelle x = 1 hat er einen Tiefpunkt, der auf der Geraden mit der Gleichung \(y = –x \)  liegt: \(T(1|-1)\)

\(T(1|-1)\)

\(f(1)=a+b\)         \(a+b=-1\)     

\(f´(1)=4a+2b\)      \(4a+2b=0\)      \(2a+b=0\)

\(a=1 und   b=-2\)

\(f(x)=x^4-2*x^2\)

Comments

Weg über die Nullstellenform der Parabel 4.Grades:

\(T_1(-1|-1)\)    \(T_2(1|-1)\) 

Ich verschiebe um 1 Einheit nach oben:

\(T_1´(-1|0)\)    \(T_2´(1|0)\) 

Nun gibt es 2 doppelte Nullstellen:

\(f(x)=a(x+1)^2(x-1)^2\)

Ursprung U\(0|0)\)→U´\(0|1)\):

\(f(0)=a(1)^2(-1)^2=a=1\)

\(f(x)=(x+1)^2(x-1)^2\)

Ich verschiebe um 1 Einheit nach unten:

\(p(x)=(x+1)^2(x-1)^2-1\)

Answer 3

Wegen der Symmetrie treten nur gerade Potenzen auf, also

\(f(x)=ax^4+bx^2+c\). Nun verwende die von dir gefundenen

Bedingungen, um \(a,b,c\) zu bestimmen.

Da du mehr Bedingungen als Unbekannte hast, kann es

passieren, dass es gar keine solche Funktion gibt.