Wie berechnet man die orthogonale Projektion mit mehr als einem Basisvektor?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wir betrachten den euklidischen Raum \( \mathbb{R}^{3} \) mit dem Standardskalarprodukt und den Unterraum \( U \leq \mathbb{R}^{3} \) mit Basis \( \mathcal{B}=\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)\right) \)


Berechnen Sie die orthogonale Projektion von \( v=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \) auf \( U \).

Answer 1

Du suchst ein Element u∈U , dessen Differenz zu v

im Orthogonalraum von U liegt, also mit beiden Basisvektoren

das Skalarprodukt 0 hat. Ansatz (Wenn u und w die beiden

Basisvektoren sind.)

(x*u+y*w-v ) * u = 0 und (x*u+y*w-v ) * w = 0

Wenn du x und y ausgerechnet hast ist x*u+y*w die

gesuchte Projektion.

Ich komme auf y=0,2 und x=-0,4.

Answer 2

Aloha :)

Du projezierst den Vektor \(\vec v\) auf jeden einzelnen der beiden Basisvektoren und addierst dann die Projektionen:

$$\frac{1}{1^2+2^2+3^2}\left[\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\frac{-1-2+3}{14}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\vec0$$$$\frac{1}{0^2+5^2+6^2}\left[\begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix}=\frac{0-5+6}{61}\begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix}=\frac{1}{61}\begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix}$$

Die Summe beider Projektionen ist gesucht:

$$\vec v_B=\frac{1}{61}\begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix}$$

Comments

Du projezierst den Vektor \(\vec v\) auf jeden einzelnen der beiden Basisvektoren und addierst dann die Projektionen:

das ist falsch! funktioniert wahrscheinlich nur, wenn die beiden Basisvektoren orthogonal zueinander stehen, was hier nicht der Fall ist.$$\vec v_B = \frac15\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$$(s. Antwort von mathef und hier)