Wie berechnet man den Abstand von Punkt und Gerade?

Question

Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden.

Gegeben: P(-1|3) und f(x)=3/2x-2

Wie berechnet man einen Abstand eines Punktes von einer Geraden und was genau ist damit gemeint?

Answer 1

Was man leider erst in der Oberstufe kennenlernt

y = 3/2·x - 2
0 = 3/2·x - y - 2
0 = 3·x - 2·y - 4
3·x - 2·y - 4 = 0

Diese Koordinatengleichung kann man leicht in die Abstandsformel umwandeln

d = |3·x - 2·y - 4| / √(3^2 + 2^2)

Jetzt setzt man den Punkt ein und rechnet aus

d = |3·(-1) - 2·3 - 4| / √(3^2 + 2^2) = √13

Der üblichere Weg über das Lotfußpunktverfahren

y = 3/2·x - 2

Eine senkrechte Gerade durch den Punkt P in der Punkt.-Steigungsform lautet

y = -2/3·(x + 1) + 3 = 7/3 - 2/3·x

Schnittpunkt der Geraden über das Gleichsetzungsverfahren

3/2·x - 2 = 7/3 - 2/3·x
9·x - 12 = 14 - 4·x
13·x = 26 → x = 2

y = 3/2·2 - 2 = 1 → S(2 | 1)

Jetzt Abstand von P und S

d = √((2 - (-1))^2 + (1 - 3)^2) = √13

Answer 2

Hallo,

stelle die Gleichung der Geraden h (grün) auf, die orthogonal zu f (rot) durch P verläuft.

Berechne den Schnittpunkt S.

Die Länge der Strecke PS (schwarz) ist der gesuchte Abstand.

Answer 3

...und was genau ist damit gemeint?

Gemeint ist die Länge der grün eingezeichneten Strecke:

Answer 4

was genau ist damit gemeint?

Gemeint ist die Länge des Lotes von P auf die Gerade.

Answer 5

Die Gerade kannst du so bestimmen:

Du hast einen Punkt und die Steigung.

Die Steigung der Orthogonale ist -1/m, also hier -2/3.