L = (-2/-6) U ( / ), sind das nicht auch nur -2 und -6?

Question

Aufgabe:

x²+8x+12 > 0

Problem/Ansatz:

Mit der PQ-Formel habe ich -2 und -6 raus. Meine Frage ist aber bezüglich der Vereinigung der Lösungsmengen.

L = (-2/-6) U ( / ), sind das nicht auch nur -2 und -6? Das linksliegende Intervall soll hier eingetragen werden. Danke

Answer 1

Das ist ja eine Ungleichung.

-2 und -6 sind die Lösungen der Gleichung.

Bei der Ungleichung ist

L = ] -∞ ; -6 [ ∪    ] 2 ; ∞ [

Comments

Wie kommt man darauf? Wenn ich die Ungleichung

1 / x+1 >= -4 habe

und daraus 3/4 mein x sind

lautet die Lösungsmenge dann

L (∞/3/4) U (3/4/-∞)?

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Zu x²+8x+12 gehört ja eine nach oben

offene Parabel. Wenn die bei -6 und -2 die

x-Achse schneidet, sind die Funktionswerte links

von -6 ( also von -∞ bis -6 ) positiv und auch rechts von -2.

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ist das bei der 2. Ungleichung auch so? Das ist ja eine Gerade, mit einer Nullstelle, stimmt dann (∞/3/4) U (-1/∞)? Bei x ungleich -1? Danke

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1 / (x+1) >= -4

Zu 1 / (x+1) gehört keine Gerade sondern eine Hyperbel.

Du kannst hier aber auch einfach umformen.

Dabei musst du allerdings 2 Fälle unterscheiden,

nämlich ob x+1 positiv oder negativ ist.

1. Fall x+1 positiv ( also x>-1).

Wenn du die Ungleichung dann mit (x+1) multiplizierst

wird daraus  1 ≥ -4(x+1)

        <=>     1 ≥ -4x-4    | +4

        <=>    5 ≥ -4x   | :(-4)  Zeichen umdrehen !

    <=>    -1,25   ≤ x

Also hast du hier die Lösungsmenge L1 = ]-1 ;∞ [ ;  denn die

Rechnung galt ja nur für den Fall x>-1 und die sind alle

auch größer oder gleich -1,25.

2. Fall x+1 negativ ( also x>-1).
Wenn du die Ungleichung dann mit (x+1) multiplizierst
wird daraus 1 ≤ -4(x+1)
        <=>    1  ≤ -4x-4    | +4
        <=>    5   ≤  -4x   | :(-4)  Zeichen umdrehen !

    <=>    -1,25  ≥  x

Also hast du hier die Lösungsmenge L2 = ]-∞ ;  -1,25 ] ;  denn die
Rechnung galt ja nur für den Fall x < -1 und alle die kleiner  oder gleich -1,25 sind ja kleiner 1.