Potenzreihen, warum muss a_n=f^(n)(0)/n! gelten?

Question

Hallo Leute,

folgendes Problem:

Sei \(f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) mit Konvergenzradius \(R>0\). Es wurde geziegt, dass die Potenzreihe der Ableitungen \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\) gleichmäßig gegen \(f'(x)\) konvergiert, wobei der Konvergenzradius ebenfalls \(R>0\) ist.

Nun wurde unmittelbar daraus geschlossen, dass \(a_n=\frac{f^{(n)} (0)}{n!}\) gelten muss, kann mir jemand das begründen?

Ich kenne diese Definition \(a_n=\frac{f^{(n)} (0)}{n!}\) nur von den Taylor-Reihe am Entwicklungspunkt \(x_0=0\), aber Taylorreihen wurden im Matheskript noch nicht explizit erwähnt, es geht mir eher um die Herleitung, warum auf Basis der obigen Informationen dieser Schluss gezogen wird?

Comments

Offensichtlich ist f(0) = a0 = 0! a0

Die Ableitung f'(0) = 1*a1 = 1! a1

Das kannst du iterieren. Bilde mit dem Satz die Ableitung von f' und Werte in 0 aus:

f''(0) = 2*1 * a2 = 2! a2

etc.

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Aber \(f(0)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n0^n=a_0 \Rightarrow a_0=0\)

Es wäre im Allgmeinen \(f^{(k)}(0)=\sum \limits_{n=k}^{\infty}\frac{n!}{(n-k)!}a_n 0^{n-k}=a_k k! \Rightarrow a_k=0\)

Es kann doch nicht jeder Koeffizient gleich Null sein, oder missverstehe ich dich?

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Wie folgerst du a0 = 0? Das ist falsch!

Da steht f(0) = a0 also ist a0 = f(0)/0! da 0! =1

Dann leitest du richtig her: f^k(0) = ak * k! also ist ak = f^k(0)/k!

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$$a_n=\frac{f^{(n)} (0)}{n!}\leftrightarrow f^{(n)} (0)= n!\cdot a_n = 0 (*)$$

da \(f^{(k)}(0)=\sum \limits_{n=k}^{\infty}\frac{n!}{(n-k)!}a_n 0^{n-k}=0\)

Für alle natürliche Zahlen \(n\) ist \(n!\neq 0\), also muss in \((*)\) \(a_n=0\) gelten.

Entschuldigung, wenn ich hier total hängen geblieben bin.

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Dir ist klar dass bei Potenzreihen die Konvention \( 0^0 =1 \) gilt? Wenn du in eine Potenzreihe 0 einsetzt bleibt das Absolutglied stehen. Und das muss nicht gleich 0 sein!

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Bin im Skript jetzt weiter, aber dort wurde bis jetzt immer nur \(x^0\) für \(x\neq 0\) angenommen. Es muss \(0^0=1\) definiert sein, da sonst das Kapitel keinen Sinn ergeben würde, aber das wurde wohl einfach nicht notiert.

Danke nochmal für deine Hilfe, sry falls ich es etwas kompliziert gemacht habe.