Was ist die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen?

Question

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zum Thema komplexe Zahlen. Ich weiß das komplexe Zahlen nichts anderes sind als:

Realteil + Imaginärteil * Imaginäre Einheit

Nun stellt sich mir die Frage was genau die imaginäre Einheit ist. Soweit ich weiß ist die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen immer die Zahl, die quadriert immer -1 ergibt. Somit müsste die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen doch immer \( \sqrt{-1} \) sein, oder?

Für Feedback und Verbesserungen zu dem Gedankengang wäre ich dankbar.

Vielen Dank schonmal.

Comments

Die imaginäre Einheit ist eine Zahl i mit i^2=-1

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war nicht gut

Answer 1

Hallo

da ja \( \sqrt{-1} \) eigenntlich keinen Sinn macht hat man im komplexen die neue Einheit i mit i^2=-1  i hat also dieselbe Eigenschaft wie \( \sqrt{-1} \), wenn es das gäbe, deshalb ist auch \( \sqrt{-5} =i*\sqrt{5}\)

In dem Sinne kannst du dir natürlich i als \( \sqrt{-1} \) vorstellen, da es das aber für die reelle Zahl -1 nicht gibt ist es besser einfach i zu verwenden.

Gruß lul

Answer 2

ist die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen immer die Zahl, die quadriert immer -1 ergibt

Viel mehr gibt es dazu auch nicht zu sagen. Außer vielleicht:

• Die imaginäre Einheit \(\mathrm{i}\) ist keine reelle Zahl. Es gilt nämlich \(x^2 \geq 0\) für jedes \(x\in\mathbb{R}\) und \(-1\ngeq 0\).
  
• Es gibt eine weitere Zahl, die quadriert \(-1\) ergibt. Es gilt nämlich auch \((-\mathrm{i})^2 = -1\).

Ansonsten ist \(\mathrm{i}\) einfach eine erfundene Zahl, die einen Bedarf deckt. Aber dieses Vorgehen kennst du ja schon aus der Schule.

1. In der ersten Klasse hast du die natürlichen Zahlen kennen gelernt.
2. In der sechsten Klasse hast du die ganzen Zahlen kennengelernt. Damit konnte man die Gleichung \(a+x=b\) für alle natürlichen Zahlen lösen.
3. In der fünften Klasse hast du die rationalen Zahlen kennengelernt. Damit konnte man die Gleichung \(a\cdot x = b\) für alle ganzen Zahlen außer \(a=0\) lösen.
   
4. In der achten Klasse hast du die reellen Zahlen kennengelernt. Damit konnte man die Gleichung \(x^2 = a\) für alle rationalen Zahlen \(a\) mit \(a\geq 0\) lösen.
   
5. Mit Einführung der komplexen Zahlen kann die Gleichung \(x^2 = a\) für alle reellen Zahlen gelöst werden.
   

Somit müsste die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen doch immer \( \sqrt{-1} \)

Für die Anschauung ist das brauchbar. Aber erzähl das keinem Mathematiker.

Answer 3

Aloha :)

Nehmen wir mal an, es wäre \(i=\sqrt{-1}\). Dann gilt:$$i^2=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot(-1)}=\sqrt{1}=1$$Das steht im Widerspruch zu \(i^2=-1\).

Daher ist die Vorstellung, dass \(i=\sqrt{-1}\) gilt, für Rechnungen mit Potenzen und Wurzeln gefährlich. Du kannst jedoch immer \(i^2=-1\) verwenden.