Zeigen Sie, dass m stetig auf R ist.

Question

Aufgabe:

Seien f : R → R und g : R → R stetig. Sei m: R → R definiert durch m(x) := min{f(x), g(x)}.
Zeigen Sie, dass m stetig auf R ist.

Problem/Ansatz:

ich weiß überhaupt nicht wie man da rangehen soll. Mein Ansatz wäre vielleicht, dass man mit dem Epsilon Delta Kriterium guckt, ob es für f und für g gilt? Ich weiß nicht wie man das Epsilon Delta Kriterium darauf anwenden könnte.

Danke schonmal im Voraus für jegliche Hilfe.

Answer 1

Du kannst min in folgender Art umschreiben:

\(\min(a,b)=\frac{1}{2}(a+b-|a-b|)\).

Nun nutze die Aussagen über Summe, Differenz,Produkt

und Hintereinanderausführung stetiger Funktionen

sowie die Tatsache, dass \(x\mapsto |x|\) eine stetige Funktion ist.

Comments

Gilt die Aussage der Summe auch für f(x) - g(x) ?
Also (f(x) und g(x) sind stetig => f(x) - g(x) ist eine stetige Funktion?

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Klar! \(\;\;\;\;\;\)

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Wie wende ich die Dreiecksungleichung an, um zu zeigen, dass | f(x) - g(x) | stetig ist?

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Du meinst wohl f(x)-g(x), oder?

Sei \(h(x)=f(x)-g(x)\). Dann ist

\(|h(x)-h(x_0)|=|f(x)-f(x_0)-(g(x)-g(x_0))|=\)

\(|(f(x)-f(x_0))+(g(x_0)-g(x))|\leq\)

\(|f(x)-f(x_0)|+|g(x_0)-g(x)|\)

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Habt ihr denn keinen Satz über Summe, Produkt und Hintereiander-

Ausführung stetiger Funktionen? Das ist doch Standardstoff.

\(x\mapsto -1\) ist als konstante Funktion stetig,

\(x\mapsto -g(x)=(-1)\cdot g(x)\) ist als Produkt stetiger Funktionen stetig.

\(f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))\) ist als Summe stetiger Funktionen

stetig.

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Doch ich war nur Lost; aber nochmal vielen dank fürs helfen ^^