Die Landwirtin, die Hühner und der Zaun

Question

Aufgabe:

Eine Landwirtin will an einem Stall mit 20 m Zaun einen Hühnerauslauf abgrenzen. Welche Länge und Breite muss sie wählen, um einen möglichst großen Auslauf zu erhalten?

Problem/Ansatz:

Ich war jetzt schon so weit, dass ich herausgefunden habe, dass es etwas mit

U= 2a+b

und A=a•b

sein muss. Hier stecke ich jedoch fest… Kann mir da jemand bitte helfen?

Danke! ;)

Answer 1

Ich war jetzt schon so weit, dass ich herausgefunden habe, dass es etwas mit

U= 2a+b

und A=a•b

Das ist schon mal gut. Mache jetzt daraus

20= 2a+b
A=a•b

Comments

Danke! Das ist mein Ansatz:

b=20-2a

Das kann ich dann in A=a•b einsetzen

Also: A= a•(20-2a)

Dann wäre das A=-2a²+20a

Muss ich jetzt mit der Scheitelpunktform arbeiten, um das Maximum herauszufinden?

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"Muss ich jetzt mit der Scheitelpunktform arbeiten, um das Maximum herauszufinden?"
Das ist eine Möglichkeit! Schneller ist hier der Weg über die Nullstellen der Parabel.

Überlege hierzu: Wo liegt der Scheitelpunkt in Bezug auf die Nullstellen?

Answer 2

Zielfunktion:

\(A(a,b)=a•b\) soll maximal werden

Nebenbedingung:

\(U(a,b)= 2a+b=20\)

\(b=20-2a\)

\(A(a)=a•(20-2a)\)

...

Answer 3

Eine Landwirtin will an einem Stall mit 20 m Zaun einen Hühnerauslauf abgrenzen. Welche Länge und Breite muss sie wählen, um einen möglichst großen Auslauf zu erhalten?

Nebenbedingung

U = 2·a + b = 20 → b = 20 - 2·a

Hauptbedingung und Zielfunktion

A = a·b = a·(20 - 2·a) = 20·a - 2·a^2

Ableiten und Nullsetzen der Zielfunktion

A' = 20 - 4·a = 0 → a = 5 m

Alternativ kannst du A auch in die Scheitelpunktform bringen

A = - 2·a^2 + 20·a = - 2·(a^2 - 10·a) = - 2·(a^2 - 10·a + 25 - 25) = - 2·(a - 5)^2 + 50

Scheitelpunkt bei a = 5 m

Weitere Alternative ist den Scheitelpunkt zwischen den Nullstellen zu bestimmen

A = a·(20 - 2·a) → Die Nullstellen sind hier offensichtlich a = 0 und a = 10. Der Scheitelpunkt findet sich exakt zwischen den Nullstellen daher bei a = 5 m

Einsetzen in Nebenbedingung

b = 20 - 2·5 = 10 m

Der Auslauf wird also 10 m lang und 5 m breit werden.

Comments

Ich bin zwar etwas spät, aber ich wollte mal fragen woher ich weiß dass a=5. Also die Rechnung an sich verstehe ich komplett, aber irgendwie kann ich mir die Form davon nicht vorstellen. Ist der Auslauf rechteckig? Und wir nehmen „Scheitelpunkt“ nur so zum rechnen ohne eine richtige Parabel zu haben?

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Ja, der Auslauf ist rechteckig, aber von einer Seite durch die Stallwand begrenzt.

Der Graph einer Parabel hat damit natürlich wenig zu tun. Es geht sich um eine quadratische Gleichung, weil der größtmögliche Flächeninhalt (in Quadratmetern) gesucht wird.

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Und warum ist a= Schnittpunkt?

Also ich habe das so gedacht, da die Nullstellen ja 0 und 10 sind, ist die Seite da (b) quasi 10 Einheiten lang und dann müsste die andere Seite (a) 5 Einheiten lang sein.

Aber wie kam @Der_Mathecoach von Schnittpunkt =5 auf a=5?

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Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel und seine x-Koordinate ist genau in der Mitte der Nullstellen. Es war das Maximum = möglichst groß  gesucht.

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Was immer nützlich ist, ist sich so ein paar Möglichkeiten der Freigehege zu skizzieren. Ich habe das mal gemacht und das Freigehege mit dem größten Auslauf markiert.

Ich überlasse es gerne dir, die Gehege zu beschriften und den Flächeninhalt jeweils zu berechnen. Bei weiteren Fragen stehe ich aber gerne zur Verfügung.

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Ahh, mega, habs verstanden. Danke schön!