Eine Landwirtin will an einem Stall mit 20 m Zaun einen Hühnerauslauf abgrenzen. Welche Länge und Breite muss sie wählen, um einen möglichst großen Auslauf zu erhalten?
Nebenbedingung
U = 2·a + b = 20 → b = 20 - 2·a
Hauptbedingung und Zielfunktion
A = a·b = a·(20 - 2·a) = 20·a - 2·a^2
Ableiten und Nullsetzen der Zielfunktion
A' = 20 - 4·a = 0 → a = 5 m
Alternativ kannst du A auch in die Scheitelpunktform bringen
A = - 2·a^2 + 20·a = - 2·(a^2 - 10·a) = - 2·(a^2 - 10·a + 25 - 25) = - 2·(a - 5)^2 + 50
Scheitelpunkt bei a = 5 m
Weitere Alternative ist den Scheitelpunkt zwischen den Nullstellen zu bestimmen
A = a·(20 - 2·a) → Die Nullstellen sind hier offensichtlich a = 0 und a = 10. Der Scheitelpunkt findet sich exakt zwischen den Nullstellen daher bei a = 5 m
Einsetzen in Nebenbedingung
b = 20 - 2·5 = 10 m
Der Auslauf wird also 10 m lang und 5 m breit werden.
