Zeigen Sie, dass die Gleichung der Einheitshyperbel für alle Werte von alpha erfüllt wird!

Question

Aufgabe:

Die Gleichung der Einheitshyperbel lautet \( x^{2}-y^{2}=1 \)

Die hyperbolischen Funktionen \( \cosh (\alpha) \) und \( \sinh (\alpha) \) zur Parametrisierung der Einheitshyperbel sind folgendermaßen definiert:

\( x=\cosh (\alpha)=\frac{1}{2}\left(e^{\alpha}+e^{-\alpha}\right) \)

\( y=\sinh (\alpha)=\frac{1}{2}\left(e^{\alpha}-e^{-\alpha}\right) \)

Zeigen Sie, dass die Gleichung der Einheitshyperbel (1) für alle Werte von \( \alpha \) erfüllt wird!

Problem/Ansatz:

Comments

Und hast du denn schon \(\cosh(\alpha)\) für \(x\) und

\(\sinh(\alpha)\) für \(y\) in \(x^2-y^2\) eingesetzt?

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Ja also das wäre mein Ansatz aber dann weiß ich nicht weiter

Answer 1

Ich schreibe mal \(a\) statt \(\alpha\):

Nachdem Der_Mathecoach mit einer Voll-Lösung vorgeprescht ist

hier meine Lösung:

\(x^2-y^2=1\iff (2x)^2-(2y)^2=4\) (wegen meiner "Nenner-Phobie").

Nun einsetzen:

\((e^a+e^{-a})^2-(e^a-e^{-a})^2=e^{2a}+2+e^{-2a}-(e^{2a}-2+e^{-2a})=2+2=4\).

Answer 2

x^2 - y^2 = 1

(cosh(α))^2 - (sinh(α))^2 = 1

(1/2·(e^α + e^{-α}))^2 - (1/2·(e^α - e^{-α}))^2 = 1

1/4·(e^{2α} + 2 + e^{-2α}))^2 - 1/4·(e^{2α} - 2 + e^{-2α}) = 1

1/4·e^{2α} + 1/2 + 1/4·e^{-2α}))^2 - 1/4·e^{2α} + 1/2 - 1/4·e^{-2α}) = 1

1/2 + 1/2 = 1