Für welche Werte x ist die Gleichung erfüllt? 3^x + 5^x = 3^{x-2} + 2 * 5^x

Question

Hi, ich bin ein bisschen hilflos. Ich habe eine Aufgabe, ich kenne auch die Lösung. Mir fehlt aber der Weg. Ich verstehe nicht, wie ich auf die Lösung komme.

Aufgabe:

Für welche Werte x ∈ ℝ ist die Gleichung 3^x + 5^x = 3^x-2 + 2 * 5^x erfüllt?

Lösung:

x = (ln 8 - ln 9)/(ln 5 - ln 3)

Mir fehlen da wohl ein wenig die Grundlagen, es wäre nett, wenn jemand kurz erklären könnte, wie man auf die Lösung kommt.

Answer 1

Für welche Werte x ist die Gleichung erfüllt?

Answer 2

$$3^x+5^x=3^{x-2}+2\cdot 5^x \Rightarrow 3^x-3^{x-2}=2\cdot 5^x -5^x \\  \Rightarrow 3^x(1-3^{-2})=5^x \Rightarrow 3^x\left(\frac{9-1}{9}\right)=5^x \\  \Rightarrow \left(\frac{8}{9}\right)=\frac{5^x}{3^x} \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right)^x=\left(\frac{8}{9}\right)  \\ \Rightarrow \log_{\frac{5}{3}} \left(\frac{5}{3}\right)^x= \log_{\frac{5}{3}}\left(\frac{8}{9}\right)\Rightarrow x= \log_{\frac{5}{3}}\left(\frac{8}{9}\right)$$ 
Von der Formel $$\log_{\beta}\theta=\frac{\log_a\theta}{\log_a\beta}$$ für a=e haben wir dann $$x=\frac{\ln \left(\frac{8}{9}\right)}{\ln \frac{5}{3}}=\frac{\ln 8-\ln 9}{\ln 5-\ln 3}$$

Answer 3

3^x + 5^x = 3^{x - 2} + 2·5^x

3^x + 5^x = 1/9 * 3^x + 2·5^x

8/9 * 3^x = 5^x

8/9 * 3^x / 5^x = 1

3^x / 5^x = 9/8

(3/5)^x = 9/8

x = LN(9/8) / LN(3/5) = -0.2306