Wie löse ich die Gleichung x*e^{-0,1x} = 0,5?

Question

Ich häbe offenbar ein Brett vorm Kopf und komme nicht weiter an der Stelle

ln(x) -0,1x = -0,693

Es wäre schön, wenn mir jemand den nächsten Schritt oder Regel sagen könnte.

Answer 1

Für alle, die sich für die exakte Lösung interessieren (kommt aber nicht in Schule dran):

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

Fall §6      e^{a*x+p}*x^h = b

mit p=0, h=1, a=-1/10, b=1/2

x=h/a * LambertW(n, a/h * (-1)^{2*N/h} * (b/e^p)^{1/h}) mit n=-2,-1,0,1; h=1,2,3,4,...; N=0,1,2,...,(h-1)

x=-10* LambertW(n,-1/10/2)

 n | -10* LambertW(n,-0.05)

-2 | 51.814272658519547669641169894 + 72.32315605151520934150963049 i

-1 | 44.9975528852348753597473325841...

 0 | 0.52705983551546347959956506179...

 1 | 51.81427265851954766964116989 - 72.323156051515209341509630492 i

 2 | 56.95595620017453598137270254 - 137.4431166214843936301824902 i

Probe für alle 5 Lösungen:

wie e^{-x/10}*x,x=44.997552885234875359747332584...

ergibt für alle 5 Ergebnisse die richtigen geforderten 0.5

Alle guten Rechner kennen die LambertW-Funktion.

Comments

Welcher HP-Taschenrechner kennt die die LambertW-Funktion? Welcher TI-Taschenrechner die LambertW-Funktion?

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Taschenrechner sind 30 Jahre veraltet, kosten viel Geld und zeigen nur wenig richtige Nachkommastellen an!

Kinder haben schon vor der Schule ein Handy und können sich online sofort ihren favorisierten online-Rechner kostenlos ansehen...

Uner http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

gibt es unten eine Tabelle mit Rechnern, die das können.

(wird ständig erweitert)

Selbst Wikipedia listet diese Funktion auf als "elementar"!:

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

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Nur wirst du in der Schule das Handy nicht benutzen dürfen, geschweige denn in einer Prüfung....

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Ich hatte doch oben beschrieben, dass das nicht in der Schule dran kommt (kein Lehrplan).

Es ist eben ein Unterschied, ob man sich für exakte Lösung interessiert, oder dafür, wie man bei einer bestimmten Prüfung die volle Punktzahl bekommt.

Selbst mit einem Taschenrechner der die Funktion LambertW kennt, hätte man vermutlich nicht die volle Punktzahl bekommen, weil immer nur die Lösungswege benotet werden, die auch übermittelt wurden.

Und wenn man es grafisch oder durch welches andere Näherungsverfahren auch immer (viele Taschenrechner haben "solve" Funktionalität dafür) verlangt, dann muss man es für Punkte auch tun...

Ich spreche ja hiermit auch keine Schüler an, die sich nur für Punkte im Abitur interessieren, sondern die, die sich für exakte Lösung interessieren. Und zum Zeitpunkt der Frage waren auch nicht die ganzen Randbedingungen bekannt, die nach den ganzen Bemerkungen und Kommentaren natürlich die 4 anderen Lösungen ausschließen lassen...

Würden sich alle immer nur für das interessieren, was gelehrt würde, dann "wäre die Erde noch heute eine Scheibe"...

Answer 2

Die Gleichung ist nicht analytisch lösbar. Wo hast du sie her?

Comments

Das ist ein Tel einer Textaufgabe über den Verlauf einer Fieberkurve, dargestellt durch die Funktion f(x) = 36,5+x*e^-0,1x

Eine Frage lautet. Wann sinkt die Körpertemperatur unter 37°?

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Und welche Werkzeuge stehen zur Verfügung?

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Taschenrechner, Stift und Papier ;-)

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Ok, mein Taschenrechner etwa kann das lösen...

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http://www.mathe-aufgaben.com/fileadmin/default/files/Abitur_allg_Gymnasium/Jahrgang_2009/Abiturpruefung_Wahlteil_2009_Analysis_I_3_mit_Loesungen_Baden-Wuerttemberg.pdf

Die Aufgabe mit ausführlichen Lösungshinweisen.

Hättest du die Aufgabenstellung nicht so stark verkürzt wiedergegeben und außerdem vielleicht noch die Quelle benannt, wären die Antworten vermutlich deutlich sinnvoller ausgefallen!

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Danke für den Link. Ich dachte, ich hätte irgendwo einen Denkfehler und habe die Gleichung deshalb nur ab dem Schritt, wo es bei mir hakte, aufgeschrieben. Die Lösungen haben mir trotzdem geholfen und ich jetzt heraugefunden, wie ich das Näherungsverfahren mit meinem Taschenrechner anwenden kann.

Answer 3

x·e^{- 0.1·x} = 0.5

Das kannst du nur durch ein Näherungsverfahren lösen.

x = 0.5270598355

x = 44.99755212

Comments

Mit dem Näherungsverfahren muss ich mich offenbar mal beschäftigen.

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Mach einfach eine Wertetabelle. Das ist nicht so schwer.

Kannst du auch direkt mit deiner Funktion der Fieberkurve machen. Eventuell hast du sogar einen Graphen an dem Du das in etwa ablesen kannst.

Das sollte nicht so schwer sein.