Eine lineare Abbildung ist eindeutig definiert durch die Bilder der Basisvektoren.
Ist \(\varphi:V\to V\) linear mit \(\operatorname{Kern} \varphi = \operatorname{Bild}\varphi\), dann muss \(\dim V\) wegen Dimensionssatz gerade sein.
Speziell bei \(V = \mathbb{R}^2\) muss \(\dim\operatorname{Kern} \varphi = \dim\operatorname{Bild}\varphi = 1\) sein.
Angenommen der Basisvektor \(\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)\) wird auf \(\left(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}\right)\) abgebildet. Überlege dir, wohin der andere Basisvektor \(\left(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\right)\) abgebildet werden muss, damit \(\operatorname{Kern} \varphi = \operatorname{Bild}\varphi\) ist.