Beispiel für lineare Abbildung mit Kern = Bild

Question

Aufgabe:Beispiel für eine lineare Abbildung mit Bild = Kern

Problem/Ansatz:Ich bräuchte ein Beispiel mit Erklärung für eine lineare Abbildung mit Kern = Bild

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Vielleicht F : ℝ² → ℝ², (x,y) ↦ (y,0).

Answer 1

Eine lineare Abbildung ist eindeutig definiert durch die Bilder der Basisvektoren.

Ist $\varphi:V\to V$ linear mit $\operatorname{Kern} \varphi = \operatorname{Bild}\varphi$, dann muss $\dim V$ wegen Dimensionssatz gerade sein.

Speziell bei $V = \mathbb{R}^2$ muss $\dim\operatorname{Kern} \varphi = \dim\operatorname{Bild}\varphi = 1$ sein.

Angenommen der Basisvektor $\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)$ wird auf $\left(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}\right)$ abgebildet. Überlege dir, wohin der andere Basisvektor $\left(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\right)$ abgebildet werden muss, damit $\operatorname{Kern} \varphi = \operatorname{Bild}\varphi$ ist.

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Auf (1,0) denke ich