Kann man die zweite Nullstelle, bei gegebenen Wendepunkt und Nullstelle berechnen?

Question

Aufgabe:

Kann man sagen, dass wenn eine Funktion einen Wendepunkt bei (-2|2) hat und durch den Ursprung (0|0) verläuft, sie dann automatisch auch durch den Punkt (-4|0) verläuft?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Ok, aber im Allgemeinen kann man sagen, dass wenn sich an der Nullstelle im Ursprung ein Extremum oder Sattelpunkt befindet, kann man das schon so sagen (was ich oben geschrieben habe), Richtig?

Das kann man im Allgemeinen nicht sagen. Hier ein Beispiel einer kubischen Funktion

~plot~ 0,125x^3+0,75*x^2;{-6|0};{-4|4};{-2|2};{0|0};{2|4};[[-7|3|-1|5]] ~plot~

Comments

Ok vielen Dank für eure Beispiele

Aber man doch sagen, wenn der Wendepunkt die Nullstelle ist (wie es auch in der ganz obersten Funktion ist) dass der Abstand zu den benachbarten Nullstellen dann gleich groß ist, da ja jede ganzrationale Funktion punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.

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Ich bitte noch um ein Beispiel wo der Ursprung (0|0) eine Nullstelle und ein Sattelpunkt ist und wo der Wendepunkt nicht die "Mitte" zu der nächsten Nullstelle bildet.

(Das war nämlich in der ganz obersten Funktion der Fall und dazu gab es noch kein Gegenbeispiel)

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jede ganzrationale Funktion punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.

Woher hast du solche Aussagen? Pippi Langstrumpf?

Sieht deine obige Funktion irgendwie Punktsymmetrisch zu ihren Wendepunkten aus?

~plot~ -x^4/8-1/2*x^3 ~plot~

Richtig heißt es, dass jede KUBISCHE Funktion punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.

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Woher hast du solche Aussagen? Pippi Langstrumpf?

https://www.mathelounge.de/373046/punktsymmetrisch-wendepunkt-mathematisch-ganzrationalen

Wusste gar nicht, dass du Pippi Langstrumpf bist XD

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Ich bitte noch um ein Beispiel wo der Ursprung (0|0) eine Nullstelle und ein Sattelpunkt ist und wo der Wendepunkt nicht die "Mitte" zu der nächsten Nullstelle bildet.

~plot~ -1/56x^5-5/24x^4-25/42x^3;{-5|0};{-2|2};{0|0};[[-6|1|-1|5]] ~plot~

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Dann halt nur bei ganzrationalen Funktion wo der höchste Exponenten gerade ist.

Oder bei ganzrationalen Funktionen wo es nur a und b gibt.

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Ok hab schon zwei Gegenbeispiele dazu gefunden:

-x^5/56 - x^4/24
und -x^4/56 - x^3/24

auch bei der Situation wo a ein vielfaches von b ist:

-x^5/48 - x^4/24

ging es nicht auf.

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Aber warum bildet dann bei dieser Funktion, der Wendepunkt die "Mitte" zwischen den beiden Nullstellen? Handelt es sich um einen Fall von 1 zu 1.000.000?

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Dann halt nur bei ganzrationalen Funktion wo der höchste Exponenten gerade ist.

Auch das gilt allgemein nicht.

Grundsätzlich gilt nichts allgemein, solange du es nicht nachweist, dass es so ist.

Gerade wenn du Polynome n. Grades betrachtest, können diese allgemein n Bedingungen erfüllen.

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Aber warum bildet dann bei dieser Funktion, der Wendepunkt die "Mitte" zwischen den beiden Nullstellen? Handelt es sich um einen Fall von 1 zu 1.000.000?

Du kannst allgemein Zeigen, das bei einer Funktion 4. Grades mit einem Sattelpunkt im Ursprung, und einer weiteren Nullstelle bei x = b, der Wendeppunkt an der Stelle x = b/2 liegt.

f(x) = a·x^3·(x - b)

f'(x) = a·x^2·(4·x - 3·b)

f''(x) = 6·a·x·(2·x - b) = 0 --> x = b/2 (∨ x = 0)

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f(x) = a·x3·(x - b)

Eine Frage noch, wie nennt man diese Darstellungsform?

Ist ja eine Mischung zwischen Normalform und Nullstellenform.
Nullstellenform 1. Art?

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Das ist die Nullstellenform bzw. die faktorisierte Form. Du kannst es auch so schreiben:

f(x) = a·(x - 0)^3·(x - b)

Wir haben also eine dreifache Nullstelle bei x = 0 und eine einfache Nullstelle bei x = b.

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Ok, aaah wegen der 0 geht das, verstehe

Jetzt muss ich doch noch was nachfragen

Wie kommt man von der ersten Ableitung zu der zweiten Ableitung?

Also warum wird da die 6 vor dem a*x gezogen und bleibt nicht beim -b, so wie man es bei der Ableitung von f(x) gemacht hat. Da hat man ja die 3 beim b mit in die Klammer gepackt.

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Ich habe die Rechenwege nicht angegeben, sondern nur die Lösung notiert. Willst du Ableiten solltest du vorher ausmultiplizieren

Ansonsten musst du die Produktregel beachten und das ist aufwendiger als vorher auszumultiplizieren.

Answer 2

Nein, das kann man im Allgemeinen nicht.

Comments

Hast du ein Beispiel wo das nicht der Fall ist?

Und 2. ab wann ist ein Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt?

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Gegenbeispiel:  f(x) = x^3 +6x^2 + 7x

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Ok, aber im Allgemeinen kann man sagen, dass wenn sich an der Nullstelle im Ursprung ein Extremum oder Sattelpunkt befindet, kann man das schon so sagen (was ich oben geschrieben habe), Richtig?

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Nein, kann man nicht. Noch nicht einmal, wenn

man es nur auf ganzrationale Funktionen bezieht.

Wenn du Terme mit e^x oder so dabei hast, erst recht nicht.

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Sry, ich verbessere die Aussage indem ich das Extremum wegstreiche.

Also: Wenn die Nullstelle im Ursprung liegt und ein Sattelpunkt ist, bildet der Wendepunkt die "Mitte" zur nächsten Nullstelle.

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Betrachte f(x) = x^4 + x^3.

Sattelpunkt bei (0;0) , aber nur eine weitere

Nullstelle bei x=-1.

~plot~ x^4 + x^3 ~plot~

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Der Wendepunkt liegt hier bei -0,5 und bildet, wie ich es richtig gesagt habe, die "Mitte" zu den beiden Nullstellen. :)

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f(x) = x^4 + x^3 = x^3*(x + 1)

Damit ist das eine Funktion, die ich in meiner Antwort allgemein als

f(x) = a·x^3·(x - b)

betrachtet habe.