Vollständige Induktion: (a^(2n+1) - a) durch 6 teilbar

Question

Aufgabe:

Beweise durch vollständige Induktion:

Für alle n ∈ ℕ ist (a²ⁿ⁺¹ - a) durch 6 teilbar für a ∈ ℕ.

Problem/Ansatz:

IA: n=0: a¹ - a = 0 → durch 6 teilbar

IV: Für ein beliebiges aber festes n ∈ ℕ gilt, dass (a²ⁿ⁺¹ - a) durch 6 teilbar ist.

IS: n → n+1, d.h. z.z.: (a²ⁿ⁺³ - a) durch 6 teilbar

a²ⁿ⁺³ - a = a²ⁿ⁺¹⁺² - a = a²ⁿ⁺¹ • a² - a = ...???

Wie kann ich (a²ⁿ⁺¹ - a) herausziehen, damit ich die Induktionsvoraussetzung benutzen kann?

Comments

Die Idee mit dem "Herausziehen" ist ein Möglichkeit, die Induktionsvoraussetzung einzubringen. Wenn dies nicht gut geht, kann man die Voraussetzung auch so ansetzen:

$$\exists k:\quad a^{2n+1}=a+6k$$

Und dann damit \(a^{2n+3}\) umformen.

Answer 1

\(a^{2n+3}-a=a^{2n+3}-a^3+a^3-a=a^2(a^{2n+1}-a)+(a-1)a(a+1)\)

\(a-1\), \(a\), \(a+1\) sind drei auf einander folgende ganze Zahlen,
so dass deren Produkt durch 6 teilbar ist.

Answer 2

Ist Induktion vorgeschrieben ?

Ansonsten wäre ja

a²ⁿ⁺¹ - a = a* ( a^n + 1) (a^n -1 )

Das Produkt dreier Zahlen, von denen

mindestens eine die 3 und eine die

2 als Faktor enthält; denn a^n hat ja alle Teiler von a,

und  ( a^n + 1)*a^n *  (a^n -1 ) ist das Produkt

von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen.

Answer 3

Hallo Franz,

Wie kann ich (a2n+1 - a) herausziehen, damit ich die Induktionsvoraussetzung benutzen kann?

ich würde folgendes vorschlagen:$$\begin{aligned} a^{2(n+1)+1} - a &= a^{2n+3} - a \\ &= a^2 \cdot a^{2n+1} - a \\ &= (a^2 - 1)a^{2n+1} + \underbrace{a^{2n+1} - a}_{=6k \space\text{lt. Vor.}} \\\end{aligned}\\$$anschließend solltest Du die Fälle der Teilbarkeit von \(a\) unterscheiden$$ \text{Fall 1:}\space 6\mid a \quad \checkmark   \\ \text{Fall 2:}\space 2\mid a \land 3\nmid a\\ \implies 3\mid a^2-1 \quad \checkmark \\ \text{Fall 3:}\space 2\nmid a \land 3\mid a \\ \space \text{usw.}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte

Gruß Werner