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Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Operation a * b = ab + 2a + 2b + 2 auf Q (auf der rechten Seite sind dies die reguläre Addition und Multiplikation in Q)  kommutativ und assoziativ ist.

Hinweis: Benutzen Sie dass (Q, +, . , 0,1) ein Körper ist.

In (Q, +, . , 0,1) gilt Punkt vor Strichrechnung. Da außerdem (Q, +, 0) als auch (Q, . , 1) assoziativ sind, können wir (und auch Sie in ihrem Beweis) auf die Klammern in (Q, +, . , 0,1) verzichten.

Ehrlich gesagt weiß ich überhaupt nicht was ich hier machen soll. Für eine ausführliche Erklärung wäre ich sehr dankbar.

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1. Du musst zeigen das gilt ab=ba a \star b = b \star a . Also

ab=ab+2a+2b+2 =! ba=ba+2b+2a+2 a \star b = a \cdot b + 2a + 2b +2 \ \overset{!}{=} \ b \star a = b \cdot a + 2b + 2a +2 gilt. Da Q \mathbb{Q} ein Körper ist, gilt das offensichtlich.

2. Jetzt ist zu zeigen das gilt

(ab)c=(ab+2a+2b+2)c=(ab+2a+2b+2)c+2(ab+2a+2b+2)+2c+2 ( a \star b ) \star c = (a \cdot b + 2a + 2b + 2) \star c = (a \cdot b + 2a + 2b + 2 ) \cdot c + 2 (a \cdot b + 2a + 2b + 2 ) + 2 c + 2 ist identisch mit

a(bc)=a(bc+2b+2c+2)=a(bc+2b+2c+2)+2a+2(bc+2b+2c+2)+2 a \star ( b \star c ) = a \star ( b \cdot c + 2b + 2c + 2 ) = a \cdot ( b \cdot c + 2b + 2c + 2 ) + 2a + 2 ( b \cdot c + 2b + 2c + 2 ) + 2

Das alles ausmultiplizieren zeigt die Gleichheit, weil auch hier die Körperaximoe von Q \mathbb{Q} gelten.

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Man kann die Operation so umschreiben:

ab=(a+2)(b+2)2a*b=(a+2)(b+2)-2.

Wegen (a+2)(b+2)=(b+2)(a+2)(a+2)(b+2)=(b+2)(a+2) folgt die Kommutativität von *.

Assoziativität:

a(bc)=a((b+2)(c+2)2)=(a+2)(b+2)(c+2)2a*(b*c)=a*((b+2)(c+2)-2)=(a+2)(b+2)(c+2)-2.

Hier wurde die Assoziativität in Q\mathbb{Q} genutzt.

Man sieht hier schön die Symmetrie der Ausdrücke

und spart sich jedwedes Ausmultiplizieren..

Das gleiche Ergebnis liefert (ab)c(a*b)*c.

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