Zeigen, dass die Operation kommutativ und assoziativ ist mithilfe eines Körpers

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Operation a * b = ab + 2a + 2b + 2 auf Q (auf der rechten Seite sind dies die reguläre Addition und Multiplikation in Q)  kommutativ und assoziativ ist.

Hinweis: Benutzen Sie dass (Q, +, . , 0,1) ein Körper ist.

In (Q, +, . , 0,1) gilt Punkt vor Strichrechnung. Da außerdem (Q, +, 0) als auch (Q, . , 1) assoziativ sind, können wir (und auch Sie in ihrem Beweis) auf die Klammern in (Q, +, . , 0,1) verzichten.

Ehrlich gesagt weiß ich überhaupt nicht was ich hier machen soll. Für eine ausführliche Erklärung wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

1. Du musst zeigen das gilt \( a \star b = b \star a \). Also

\( a \star b = a \cdot b + 2a + 2b +2 \ \overset{!}{=} \ b \star a = b \cdot a + 2b + 2a +2 \) gilt. Da \( \mathbb{Q} \) ein Körper ist, gilt das offensichtlich.

2. Jetzt ist zu zeigen das gilt

\( ( a \star b ) \star c = (a \cdot b + 2a + 2b + 2) \star c = (a \cdot b + 2a + 2b + 2 ) \cdot c + 2 (a \cdot b + 2a + 2b + 2 ) + 2 c + 2 \) ist identisch mit

\( a \star ( b \star c ) = a \star ( b \cdot c + 2b + 2c + 2 ) = a \cdot ( b \cdot c + 2b + 2c + 2 ) + 2a + 2 ( b \cdot c + 2b + 2c + 2 ) + 2 \)

Das alles ausmultiplizieren zeigt die Gleichheit, weil auch hier die Körperaximoe von \( \mathbb{Q} \) gelten.

Answer 2

Man kann die Operation so umschreiben:

\(a*b=(a+2)(b+2)-2\).

Wegen \((a+2)(b+2)=(b+2)(a+2)\) folgt die Kommutativität von \(*\).

Assoziativität:

\(a*(b*c)=a*((b+2)(c+2)-2)=(a+2)(b+2)(c+2)-2\).

Hier wurde die Assoziativität in \(\mathbb{Q}\) genutzt.

Man sieht hier schön die Symmetrie der Ausdrücke

und spart sich jedwedes Ausmultiplizieren..

Das gleiche Ergebnis liefert \((a*b)*c\).