Berechnung der Basis einer Matrix

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix A =

3	0
0	3

.Berechnen Sie den Eigenwert und eine Basis aus dem Eigenvektor der Matrix A …

Problem/Ansatz:

Um den Eigenwert zu berechnen, muss man ja nur in die Diagonale minus Lambda einsetzen und die Determinante berechnen. Nach meiner Berechnung wäre Lambda gleich 3 und ist somit der Eigenwert. Daraus folgt, dass der Kern gleich

0	0
0	0

ist. Aber wie berechnet man nun die Basis daraus? Ab hier verstehe ich das weitere Vorgehen nicht..

Answer 1

Der Kern ist keine Matrix.

Für die Null-Matrix sind x1,x2 beliebig. z.B.

x1=1, x2=0

x1=0,x2=1

das sind dann die Eigenvektoren (1,0)^T und (0,1)^T als Basis des Eigenraums.

Wie lautet denn die Aufgabenstellung, sicher nicht die in der Themenzeile...

Comments

Text erkannt:

Aufgabe 1. Gegeben seien die Matrizen
\( A=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -4 & -2 \end{array}\right) \text {. } \)
Berechnen Sie die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren \( \operatorname{der} \) Matrizen \( A \) und \( B \).

Die Aufgabenstellung bezieht sich eigentlich auf zwei Matrizen, ich wollte aber zunächst einfach nur die erste verstehen. Also sind x1 und x2 beliebig zu wählen weil es sowieso keinen Unterschied macht wenn man sie auf die Null-Matrix anwendet? habe ich das richtig verstanden?

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Hm,

bei einer Diagonalmatrix stehen ja die EW schon in der Diagonalen und das LGS A-λid verschwindet (ergibt die Nullmatrix) und die Basis des Eigenraumes ist die Standardbasis. Beliebig beinhaltet die lineare Unabhängigkeit der abgeleiteten (Basis)Vektoren!

Vielleicht hilft die App

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

Äußers schlampige Aufgabenformulierung übrigens....

Für B ermittelt die App (B heißt dort A:= {{2,2},{-4,-2}})

\( \rightarrow T:\left(\begin{array}{rr}\frac{-1-i}{2} & \frac{-1+i}{2} \\ 1 & 1\end{array}\right) \)
\( \mathrm{D}:=\mathrm{T}^{-1} \mathrm{~A} \mathrm{~T} \)
\( \rightarrow \mathrm{D}:=\left(\begin{array}{rr}2 \mathrm{i} & 0 \\ 0 & -2 \mathrm{i}\end{array}\right) \)

T, erste Matrix wie folgt stellen Beispiele für mögliche Basisvektoren dar

JordanDiagonalization(A)
\( \rightarrow\left\{\left(\begin{array}{rr}-\mathrm{i} & 1 \\ -1+\mathrm{i} & -1+\mathrm{i}\end{array}\right),\left(\begin{array}{rr}-2 \mathrm{i} & 0 \\ 0 & 2 \mathrm{i}\end{array}\right)\right\} \)