Berechnung der Eigenwerte 3x3 Matrix mit e^x und sin(x)

Question

Aufgabe: Eigenwerte folgender Matrix bestimmen:

e3x	2x2	1
0	sin(x)	0
cos(x)	0	0

Satz von Sarrus:

e3x−λ	2x2	1	e3x−λ	2x2
0	sin(x)−λ	0	0	sin(x)−λ
cos(x)	0	0−λ	cos(x)	0

Problem/Ansatz:

Mit dem Satz vom Sarrus (Nullen weggelassen)

(e^3x-λ) (sin(x)-λ) (-λ) - (2cos(x)) (sin(x)-λ)

Ausklammern von (sin(x)-λ):

(sin(x)-λ) [(e^3x-λ) (-λ) - (2cos(x))] → λ₁= sin(x)

(e^3x-λ) (-λ)−(2cos(x)) = λ^2−λe^3x−2cos(x)

In pq-Formel einsetzten:

(e^3x)/2 ±\( \sqrt{(\frac{e^(3x)}{2})^2+2cos(x) }\)

λ_2/3= (e^3x)/2 ±\( \sqrt{(\frac{e^(6x)}{4})+2cos(x) }\)

Stimmt das so?

Comments

Ist das die Orginalaufgabe?

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@Grosserloewe

Ja das ist die orginal Aufgabe (da stand halt noch "Man berechne die Determinante der nachfolgenden Matrix" aber ansonsten waren die Eigenwerte gefragt).

Answer 1

charakteristisches Polynom

e^3x·(λ^2 - λ·SIN(x)) + COS(x)·(λ - SIN(x)) + λ^2·SIN(x) - λ^3

(λ - sin(x)) ausklammern:   

(λ - SIN(x)) · (λ·e^3·x + COS(x) - λ^2)  = 0 

λ₁  = SIN(x)

pq-Formel →

λ_2,3 = e^3x/2 ± √(e^6x + 4·COS(x))/2 ,

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hier die Ergebnisse:

Comments

Frage hier. Sollte nicht noch unter der Wurzel durch 2 geteilt werden. Weil man teilt durch 2 bevor man die Wurzel zieht also geht das nicht mit dem 1/2 ausklammern oder irre Ich mich?

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Da traut sich GL gar nicht erst an die Rechnung heran :D

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Das hat mit "trauen" SICHER nichts zu tun.  :-)