Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades die die angegebenen Eigenschaften hat

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades die angegeben Eigenschaften hat

d) Der Graph geht durch den Koordinatenursprung und hat in S(2|1) einen Sattelpunkt

Problem/Ansatz:

… Ansatz f(0) = 0
f(2)  = 1
f''(2) = 0

Wie kommt man auf eine weitere Eigenschaft? Man braucht doch insgesamt 4 Gleichungen um eine LGS mit 4 Variablen zu lösen. Komme an der Stelle nicht weiter.

Answer 1

Hallo,

da die Funktion durch den Ursprung geht, ist d = 0.

Dann fehlt dir noch die Eigenschaft f'(2) = 0. Damit hast du drei Gleichungen für a, b und c.

Gruß, Silvia

Comments

Warum ist d=0?
Ja das habe ich schon mit f(0) = 0 abgedeckt
f'(2) = 0 ??

Achsoo, weil das ein Sattelpunkt ist, gilt f'(x) = 0 und f''(x) = 0 ?

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Achsoo, weil das ein Sattelpunkt ist, gilt f'(x) = 0 und f''(x) = 0

So ist es, hier also f'(2) und f''(2) = 0

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Ein kubisches Polynom ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt. Ist der Wendpunkt mit den Koordinaten \((x_w,\,y_w)\) gegeben, so kann man die Funktion bereits einschränken auf$$f(x)= a(x-x_w)^3 + c(x-x_w) + y_w$$Und für \(c\) gilt: \(c = f'(x_w)\), was direkt aus der Ableitung von \(f(x)\) folgt. Und bei einem Sattelpunkt ist die Steigung \(f'(x_w)=0\) - also bleibt hier$$f(x)= a(x-x_w)^3 + y_w$$Aus \(f(0)=0\) folgt dann $$a = \frac{y_w}{x_w^3} = \frac18$$

https://www.desmos.com/calculator/bbtuvu1hvl

Answer 2

Es wird ein Sattelpunkt erwähnt, nicht ein Wendepunkt.

Comments

Also ist f''2) = 0 falsch?

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Wieso sollte das falsch sein?

Answer 3

"d) Der Graph geht durch den Koordinatenursprung  und hat in S(2|1) einen Sattelpunkt."

Ich verschiebe den Graphen um 1 Einheit nach unten und mache weiter mit der Linearform der kubischen Parabel:

f(x)=a*(x-2)^3

N(0|0)→N(0|-1)

f(0)=a*(0-2)^3=-8a      -8a=-1       a=1/8

f(x)=1/8*(x-2)^3

p(x)=1/8*(x-2)^3+1