Untersuchen, ob es ganzrationale Funktionen dritten Gerades mit den angegebenen Eigenschaften gibt

Question

ich soll untersuchen ob es eine Funktion dritten Grades mit den angegebenen Eigenschaften gibt :

a) Der Graph hat im Punkt E(1/4) eine waagerechte Tangente und in W(0/2) einen Wendepunkt

b)Der Graph verläuft durch den Punkt P(4/32) und hat in T (-1/7) einen Tiefpunkt,die Stelle x=0,5 ist die Wendestelle

c) der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung,geht durch den Punkt (1/-1) und hat an der Stelle x=2 einen Extrempunkt

d) Der Graph hat bei x=-2 und x=4 relative Extremstellen ,der Wendepunkt liegt auf der y Achse

Answer 1

a) f ( x ) = - x ³ + 3 x + 2

b) f ( x ) = 2 x ³ - 3 x ² - 12 x

c) f ( x ) = ( 1 / 11 ) x ³ - ( 12 / 11 ) x

d) es existiert keine Funktion dritten Grades mit den gegebenen Eigenschaften, denn wenn eine solche Funktion zwei relative Extrema hat, dann muss die Wendestelle in der Mitte zwischen diesen Extremstellen liegen, müsste also bei der gegebenen Aufgabe an der Stelle x = 1 liegen und nicht auf der y-Achse (x = 0 ).

Comments

wie bist du auf die Funktionen gekommen ?

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zu b)

es existiert keine Funktion dritten Grades

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5e3-3x%5e2-12x

die Lösung hat bei T ein Maximum und kein Minimum.

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und wie komme ich jetzt auf die Funktionen, die du aufgeschrieben hast ?

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Stimmt, da habe ich mich vertan. Vielen Dank für den Hinweis.

Answer 2

a) 3.Grad: Der Graph hat im Punkt E\((1|4)\) eine waagerechte Tangente und in W\((0|2)\) einen Wendepunkt.

E\((1|4)\)↓:E´\((1|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]=a[(x^2-2x+1)(x-N)]=a[x^3-2x^2+x-Nx^2+2Nx-N]\)

\(f'(x)=a[3x^2-4x+1-2Nx+2N]\)

\(f''(x)=a[6x-4-2N]\)

W\((0|...)\):

\(f''(0)=a[-4-2N]=0\)

\(N=-2\):

\(f(x)=a[x^3-2x^2+x+2x^2-4x+2]=a[x^3-3x+2]\)

W\((0|2)\)↓: W´\((0|-2)\)

\(f(0)=a\cdot(2)=-2\)

\(a=-1\):

\(f(x)=-[x^3-3x+2]\)↑:

\(p(x)=-[x^3-3x+2]+4=-x^3+3x+2\)

Siehst du anhand der Zeichnung wie obiger Rechenweg einfacher dargestellt werden kann?